[JSOI2016]病毒感染[dp]

Posted 2021-02-10 fwat

题意

有 (n?) 个村庄按标号排列，每个村庄有一个死亡速度 (a_i?) 表示每天死 (a_i?) 人(除非你治好这个村庄)。

你从 1 号村庄出发，每天可以选择向相邻的村庄进发或者治愈所在的村庄。

如果在这个过程中你的左边有未治愈的村庄，同时你向左走了一步，那么你需要把这些村庄全部治愈后才能接着自由行动。

求所有村庄都被治愈时最少的死亡人数。

(nle3000,a_ile 10^9)

分析

• 如果一个村庄不及时救治，代价就是 (|返回的位置 - pos| imes a_{pos}) 。这启发我们枚举返回的位置。

• 记录 (a) 的前缀和 (s) 定义状态 (f_i) 表示前 (i) 个村庄已经治愈，当前在 (i) 的最小代价。枚举返回位置 (j) ，容易得到:

  [f_i=min{f_j+[j==0](s_n-s_j)+g_{j+1,i}+[i==n](i-j-1)(s_n-s_i)}]

  其中 (g_{j,i}) 表示从 (j) 走到 (i) ，然后走回 (j?) 的最小代价。

• 枚举 (j) 是否在返回前治愈可以得到：

  [g_{j,i}=g_{j+1,i}+minegin{cases}3a_j(i-j)+(s_n-s_j)+2(s_n-s_i)\2(s_n-s_j)+(s_n-s_i)end{cases}]

  其中 (g_{i,i}=(s_n-s_i)?) 。

• 这保证了在转移 (f?) 时，第一个走到的位置时返回后治愈的，如果不是，可以转化为此问题。

• 时间复杂度 (O(n^2))

代码

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