斐波那契数列

Posted 2023-02-18 xuguoli_beyondboy

编程之美有一道题是关于斐波那契数列，作者提供了三种解决思路：
第一种解法：
根据递推关系定义：

其转换成递归树，该结构如图：

从上面递归树结构可以看出其有重叠情况，故编程之美提出可以用一个存储变量来存储其计算过的值来排除解决重复的计算的问题，其时间复杂度为O(N),空间复杂度也为 O（N）。
第二种解法：
根据线性递推数列定义：具有形如$x_n+2=ax_n+1+b_xn$的递推公式的数列叫做线性递推数列，其特征方程为：$y_2=ay+b$ ，再根据韦达定理可以得出其关系公式：$x_n=c_1r^n+c_2s^n$其中ｒ，ｓ为其特征方程$y_2=ay+b$的两个根，ｃ１，ｃ２可以根据$x_1$和$x_2$来求出.
斐波那契数列满足这条件，故可以求出其通项公式：$f(n) = \\frac\\sqrt 5 5 \\times \\left( \\frac1 + \\sqrt 5 2 \\right)^n - \\frac\\sqrt 5 5 \\times \\left( \\frac1 - \\sqrt 5 2 \\right)^n$,尽管可以在O(1)的时间内得到f(n)但是由于出现了无理数，其精确度无法保障，故不是最好的选择。
第三种解法：
斐波那契数列是二阶递推数列，所以存在一个2*2的矩阵A，使得：
$\\left( \\beginarray*20cf_n&f_n - 1\\endarray \\right) = \\left( \\beginarray*20cf_n - 1&f_n - 2\\endarray \\right)*A$
求解可得：
$A = \\left( \\beginarray*20c1&1\\\\1&0\\endarray \\right)$
因此可以推导出：
(fnfn−1)=(fn−1fn−2)∗A=(fn−2fn−3)∗A2=....=(f1斐波那契数列递归解法与循环解法