拓扑排序

Posted 2023-04-09

参考技术A

对一个 有向无环图 (Directed Acyclic Graph简称 DAG )G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个 偏序 得到该集合上的一个 全序 ，这个操作称之为拓扑排序。

一个较大的工程往往被划分成许多子工程，工程之间相互存在依赖关系，比如工程A 、B、C，A工程开始依赖B完成, B开始又依赖C的完成，想要完成工程的话则需要按C->B-A顺序执行。
但是一旦增加 C依赖A 的条件后，则工程之间形成环形结构 C->B-A->C，导致无法完成。

拓扑排序可将有向图转换成线性有向图，以便直观的查看有向图是否存在环结构

入度 ：一个顶点的入度是以这个顶点为 终点 的有向边的数量
出度 ：一个顶点的入度是以这个顶点为 起点 的有向边的数量
例如:
A->B，B的入度+1，A的出度+1

若整个课程安排图是有向无环图（即可以安排），则所有节点一定都入队并出队过，即完成拓扑排序。换个角度说，若有向图中存在环，一定有节点的入度始终不为 0。
因此，拓扑排序出队次数等于节点个数，返回 num == 0 判断课程是否可以成功安排。

这里利用网上找到的一组图说明：

入度表遍历过程中，经常使用 邻接表 、 邻接矩阵 存储、任意两个顶点之间的连通关系，以便查找常数时间内找到当前节点对应的临界节点，以及当前节点和邻接节点之间的入度、出度数

借助一个标志列表 flags，用于判断每个节点 i （课程）的状态：

对 num个节点依次执行 DFS，判断每个节点起步 DFS 是否存在环，若存在环直接返回 False。DFS 流程；

具体案例可以参考这里： 课程表

图 - 拓扑排序 （二）

参考技术A

　　无后继的顶点优先拓扑排序方法

　　 思想方法

　　该方法的每一步均是输出当前无后继(即出度为 )的顶点 对于一个DAG 按此方法输出的序列是 逆拓扑次序 因此设置一个

　　栈(或向量)T来保存输出的顶点序列 即可得到拓扑序列 若T是栈 则每当输出顶点时 只需做人栈操作 排序完成时将栈中顶点依

　　次出栈即可得拓扑序列 若T是向量 则将输出的顶点从T[n ]开始依次从后往前存放 即可保证T中存储的顶点是拓扑序列

　　 抽象算法描述

　　算法的抽象描述为

　　NonSuccFirstTopSort(G)//优先输出无后继的顶点

　　while(G中有出度为 的顶点)do

　　从G中选一出度为 的顶点v且输出v;

　　从G中删去v及v的所有人边

　　

　　if(输出的顶点数目<|V(G)|)

　　Error( G中存在有向环 排序失败! );

　　

　　 算法求精

　　在对该算法求精时 可用逆邻接表作为G的存储结构 设置一个向量outdegree[ n ]或在逆邻接表的顶点表结点中增加 个出

　　度域来保存各顶点当前的出度;设置一个栈或队列来暂存所有出度为零的顶点 除了增加一个栈或向量T来保存输出的顶点序列外

　　该算法完全类似于NonPreFirstTopSort 具体算法【参见练习】

　　利用深度优先遍历对DAG拓扑排序

　　当从某顶点v出发的DFS搜索完成时 v的所有后继必定均已被访问过(想像它们均已被删除) 此时的v相当于是无后继的顶点 因

　　此在DFS算法返回之前输出顶点v即可得到 DAG的逆拓扑序列

　　其中第一个输出的顶点必是无后继(出度为 )的顶点 它应是拓扑序列的最后一个顶点 若希望得到的不是逆拓扑序列 同样可增

　　加T来保存输出的顶点 若假设T是栈 并在DFSTraverse算法的开始处将T初始化

　　利用DFS求拓扑序列的抽象算法可描述为

　　void DFSTopSort(G i T)

　　//在DisTraverse中调用此算法 i是搜索的出发点 T是栈

　　int j;

　　visited[i]=TRUE; //访问i

　　for(所有i的邻接点j)//即 ∈E(G)

　　if(!visited[j])

　　DFSTopSort(G j T);

　　//以上语句完全类似于DFS算法

　　Push(&T i); //从i出发的搜索已完成 输出i

　　

　　只要将深度优先遍历算法DFSTraverse中对DFS的调用改为对DFSTopSort的调用 即可求得拓扑序列T 其具体算法不难从上述抽

　　象算法求精后得到

lishixinzhi/Article/program/sjjg/201311/23812