bzoj4472: [Jsoi2015]salesman（树形dp）

Posted 2021-01-12 bztMinamoto

Description

某售货员小T要到若干城镇去推销商品,由于该地区是交通不便的山区，任意两个城镇
之间都只有唯一的可能经过其它城镇的路线。 小T 可以准确地估计出在每个城镇停留的净收
益。这些净收益可能是负数，即推销商品的利润抵不上花费。由于交通不便，小T经过每个
城镇都需要停留，在每个城镇的停留次数与在该地的净收益无关，因为很多费用不是计次收
取的，而每个城镇对小T的商品需求也是相对固定的，停留一次后就饱和了。每个城镇为了
强化治安，对外地人的最多停留次数有严格的规定。请你帮小T 设计一个收益最大的巡回方
案,即从家乡出发，在经过的每个城镇停留，最后回到家乡的旅行方案。你的程序只需输出
最大收益，以及最优方案是否唯一。方案并不包括路线的细节，方案相同的标准是选择经过
并停留的城镇是否相同。因为取消巡回也是一种方案，因此最大收益不会是负数。小T 在家
乡净收益是零，因为在家乡是本地人，家乡对小 T当然没有停留次数的限制。

Input

输入的第一行是一个正整数ｎ(5<=n<=100000)，表示城镇数目。城镇以１到ｎ的数命名。小T 的家乡命
名为１。第二行和第三行都包含以空格隔开的ｎ－１个整数，第二行的第ｉ个数表示在城镇
ｉ＋１停留的净收益。第三行的第ｉ个数表示城镇ｉ＋１规定的最大停留次数。所有的最大
停留次数都不小于２。接下来的ｎ－１行每行两个１到ｎ的正整数ｘ，ｙ，之间以一个空格
隔开，表示ｘ，ｙ之间有一条不经过其它城镇的双向道路。输入数据保证所有城镇是连通的。 

Output

输出有两行，第一行包含一个自然数，表示巡回旅行的最大收益。如果该方案唯一，在
第二行输出“solution is unique”，否则在第二行输出“solution is not unique”。

Sample Input

9
-3 -4 2 4 -2 3 4 6
4 4 2 2 2 2 2 2
1 2
1 3
1 4
2 5
2 6
3 7
4 8
4 9

Sample Output

9
solution is unique
//最佳路线包括城镇 1，2， 4， 5， 9。

 

这道树形dp好清奇……

考虑一下，设$cnt[i]$表示在$i$点的最多停留次数，那么$cnt[i]-1$就是最多能进入的子树的个数（因为到达时必须停留一次）

然后发现子树里不管怎么走，对该点的停留次数的影响都是$1$，所以每一个子树里肯定要走出最优的方案

那么我们设$dp[v]$表示$v$这一整棵子树的最优方案的权值，考虑从$u$点如何选择才能使该点最优

首先自己必须选，然后把所有儿子的$dp$值排个序，取前$cnt[u]-1$个或一直取到第一个$dp$为0的值，不难发现没有方案会比他更优

然后存儿子的$dp$值的话可以用vector

现在的问题就是怎么判断方案是否唯一

首先，如果儿子的$dp$值的前$cnt[u]-1$个里有0，那么该点的最优方案肯定不唯一（因为0那个点可以选或不选）

其次，如果第$cnt[u]-1$和$cnt[u]$个都大于0且相等，那么方案也不唯一（因为这两个都可以选）

然后如果子树的方案不唯一，自己的方案也不唯一

所以用结构体存储子树的$dp$，分别记录最大权值和方案是否唯一，不断向上dp即可

交上去竟然1A了……

 1 //minamoto
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 using namespace std;
 4 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 5 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
 6 inline int read(){
 7     #define num ch-‘0‘
 8     char ch;bool flag=0;int res;
 9     while(!isdigit(ch=getc()))
10     (ch==‘-‘)&&(flag=true);
11     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
12     (flag)&&(res=-res);
13     #undef num
14     return res;
15 }
16 const int N=100005;
17 struct node{
18     int v,f;
19     node(){}
20     node(int v,int f):v(v),f(f){}
21     inline node operator +(const node &b)const
22     {return node(v+b.v,f|b.f|(b.v==0));}
23     inline bool operator <(const node &b)const
24     {return v>b.v;}
25     inline bool operator ==(const node &b)const
26     {return v==b.v;}
27     inline void operator +=(const node &b)
28     {*this=*this+b;}
29 }dp[N];
30 int head[N],Next[N<<1],ver[N<<1],tot;
31 inline void add(int u,int v){
32     ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot;
33 }
34 vector<node> val[N];int a[N],cnt[N],n,m;
35 void dfs(int u,int fa){
36     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
37         int v=ver[i];if(v==fa) continue;
38         dfs(v,u);
39         val[u].push_back(dp[v]);
40     }
41     dp[u]=node(a[u],0);
42     sort(val[u].begin(),val[u].end());
43     int i=0,s=val[u].size(),k=cnt[u]-1;
44     for(;i<s&&i<k&&val[u][i].v>=0;++i) dp[u]+=val[u][i];
45     if(i<s-1&&val[u][i].v>0&&val[u][i]==val[u][i+1]) dp[u].f=1;
46 }
47 int main(){
48 //    freopen("testdata.in","r",stdin);
49     n=read();
50     for(int i=2;i<=n;++i) a[i]=read();a[1]=0;
51     for(int i=2;i<=n;++i) cnt[i]=read();cnt[1]=n+1;
52     for(int i=1,u,v;i<n;++i)
53     u=read(),v=read(),add(u,v),add(v,u);
54     dfs(1,0);
55     printf("%d
",dp[1].v);
56     puts(dp[1].f?"solution is not unique":"solution is unique");
57     return 0;
58 }