上升序列问题

Posted 2023-04-08 沐枫L

概念

1. 递增（非降）序列
   如果在序列中，每个数都不小于它前面的一个数，我们就称这个序列为递增序列，或者称为非降序列。例如：1 2 2 3 4，3 4 5 6 7都是非降序列。
2. 递减（非增）序列
   如果在序列中，每个数都不大于它前面的一个数，我们就称这个序列为递减序列，或者称为非增序列。例如：4 3 3 2 1，7 6 5 4 3都是非增序列。
3. 严格递增序列
   如果在序列中，每个数都大于它前面的一个数，我们就称这个序列为严格递增序列。例如：1 2 2 3 4不是严格递增序列，3 4 5 6 7为严格递增序列。
4. 严格递减序列
   如果在序列中，每个数都小于它前面的一个数，我们就称这个序列为严格递减序列。例如：4 3 3 2 1不是严格递减序列，7 6 5 4 3为严格递减序列。

上升序列的判断

• 每次判断的操作只比较需要连续的两个数，因此，我们除了用一个变量（例如： $x$）记录刚刚输入的数值以外，还需要用一个变量（例如：$last$）记录上一个输入的数值，将这两个数值进行比较即可。

• 由于我们是从第 $2$ 个数开始才有 $last$，因此 $last$ 一开始的值就是第 $1$ 个数，我们可以直接将第一个数值输入给 $last$，第 $2$ 个数输入给 $x$。这样我们可以用 if (x > last) 语句来进行比较。

• 当把第 $3$ 个数输入给 $x$ 时，$last$ 应该是第 $2$ 个数才对，因此，我们需要在将 $x$ 变为第 $3$ 个数之前，先把它的值赋值给 $last$，使其成为第 $2$ 个数。也就是说，对于每个新输入的 $x$ 来说，它之前的数值已经赋值给了 $last$。
  对于输入 $5$ 个数：7 9 5 10 11

  i	1	2	3	4	5
  x	7	9	5	10	11
  last	空	7	9	5	10

  从第 $2$ 列开始，每一列的 $x$ 和 $last$ 刚好就是一对相邻的数，我们对它们使用 if (x <= last) 语句进行比较即可。

• 如何判断一个序列不是严格上升序列？或者是上升序列？
  假如存在某一次判断 $x\le last$，则 if (x <= last) 语句为真，立即可以判断该序列不是严格上升序列；
  但是，如果对于某一次 if (x <= last) 为假，能立即判断它就是严格上升序列吗？显然不能！ 正如上面的例子，在第 $2$ 列里 if (x <= last) 就为假，但它绝不是严格上升序列，因为你才刚刚看了前两个数，后面的数很有可能存在 if (x <= last) 为真的情况，其实第 $3$ 列就为真！所以，我们不能用 if-else 直接通过某一列就得出“要么为严格上升序列，要么不是严格上升序列”的结论。这种判断以后我们也会经常见到，它的特点就是：只要有一个为真，则输出 NO；必须全部为假，才为 YES。

所以，只有在循环外，当整个循环都没有判断为真的情况时，才能确定这是一个严格上升序列。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
	int n, x, last;
	//第一个数直接被赋值为last
	cin >> n >> last;//省略了last = x
	for (int i = 2; i <= n; ++i) 
		cin >> x;
		// 判断不是上升序列的条件
		if (x <= last) 
			cout << "NO";
			// 此时整个程序即可结束
			return 0;
		
		last = x;
	
	// 整个循环都没有if为真，则输出'YES'
	cout << "YES";

最长上升连续子序列 Linkcode

问题：

给定一个整数数组（下标从 0 到 n-1， n 表示整个数组的规模），请找出该数组中的最长上升连续子序列。（最长上升连续子序列可以定义为从右到左或从左到右的序列。）

 

样例

给定 [5, 4, 2, 1, 3], 其最长上升连续子序列（LICS）为 [5, 4, 2, 1], 返回 4.

给定 [5, 1, 2, 3, 4], 其最长上升连续子序列（LICS）为 [1, 2, 3, 4], 返回 4.

给定 [1, 1, 1, 1, 1], 其最长上升连续子序列（LICS）为 [1], 返回 1.

 1 public class Solution {
 2     /**
 3      * @param A an array of Integer
 4      * @return  an integer
 5      */
 6     public static int longestIncreasingContinuousSubsequence(int[] A) {
 7         if(A.length==0)
 8             return 0;
 9         int hz,hj,r,maxz,maxj;
10         hz=hj=0;
11         r=maxz=maxj=1;
12         
13         while(r<A.length){
14             if(A[r]<A[r-1]){
15                 maxz = Math.max(maxz, r-hz);
16                 hz = r;
17             }else if(A[r]>A[r-1]){
18                 maxj = Math.max(maxj, r-hj);
19                 hj = r;
20             }else{
21                 hz = hj = r;
22             }
23             r++;
24         } 
25         maxz = Math.max(maxz, r-hz);
26         maxj = Math.max(maxj, r-hj);
27         return Math.max(maxz, maxj);
28     }
29 }