Luogu5772 [JSOI2016]位运算

Posted 2020-12-19 言似缥缈

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Luogu5772 [JSOI2016]位运算相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

Description

给定一个 (0/1) 二进制串 (s(|s|le 50))，和两个整数 (n,k(nle 7,kle 10^5))

从不大于将 (s) 循环 (k) 次后得到的二进制串的数中选不同的 (n) 个，异或和为 (0) 的方案

Solution

自己口胡的错误解法

题目本质上是要使所有的位置上面满足有偶数个数字相同

同时还要满足所选的 (n) 个数得互不相同

正难则反

每个位置上面的方案就是 (sumlimits_{iin {Even}}^ninom n i)

搞个快速幂，这题就完成了 (5\%)

后面是两个瓶颈：

(1.) 满足大小关系

满足大小关系的要求就是如果两个数的前几位都一致，那么要在对方是 (0) 的位置上面不能是 (1)

所以就是考虑每个数对于答案的贡献（被包含在了多少的方案里面）

这一行后面的数字会废掉

(2.) 去重

这里上个容斥，把 (n-1) 的方案求出来，然后是 (n-2) 的 (cdots)

（所以大概数组要开成 (f_{7,5 imes10^6}) ）

正解

好像思路还是有点偏呢，水平还是不行，缺那种 (dp) 着定义状态的意识

（暂令 (R>x_1>x_2>cdots>x_n)）

用 (f_{i,st}) 表示已经从高到低考虑了 (i) 位，(st) 表示对于当前的位置 (i)， (x_i) 和 (x_{i-1}) 的相等关系，如果相等就是 (1) ，反之则反之

然后转移的时候直接枚举这一次 (n) 个数当前位要填的 (0/1)（这里可以状压）

如果满足原来两项相同但是现在后面的比前面的大，那么就不转移了

更新下来状态直接更新答案

这样复杂度显然是不行的，而且显然忽略了题目中对 (R) 重复性的描述

所以发现没，又要矩阵快速幂啦

显然对于每个循环的转移方式都是一致的（因为字符串是一样的）

所以口胡就没了

然后进入了长长的 (coding time)

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
namespace yspm{
	inline int read()
	{
		int res=0,f=1; char k;
		while(!isdigit(k=getchar())) if(k==‘-‘) f=-1;
		while(isdigit(k)) res=res*10+k-‘0‘,k=getchar();
		return res*f;
	}
	const int mod=1e9+7,N=60,M=2<<7;
	inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
	inline int del(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
	char s[N];
	int n,k,len;
	struct node{
		int a[M][M];
		int* operator [](int x){return a[x];}
		inline void init(){memset(a,0,sizeof(a)); return ;}
		inline void prework(){for(int i=1;i<=(1<<n);++i) a[i][i]=1; return ;}
	};
	node ans,base;
	int S,f[60][60];
	inline node mul(node x,node y)
	{
		node ans; ans.init();
		for(int i=0;i<=S;++i)
		{
			for(int j=0;j<=S;++j) 
			{
				for(int k=0;k<=S;++k) ans[i][j]=add(ans[i][j],x[i][k]*y[k][j]%mod);
			}
		} return ans;
	}
	inline node ksm(node x,int y)
	{
		node res; res.init(); res.prework();
		for(;y;y>>=1,x=mul(x,x)) if(y&1) res=mul(res,x);
		return res;
	}
	int c[M],val[10];
	inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
	inline int calc(int x){int cnt=0; for(;x;x-=lowbit(x)) cnt++; return cnt;}
	signed main()
	{
		n=read(); k=read(); scanf("%s",s+1); len=strlen(s+1); S=(1<<n)-1;
		for(int i=0;i<=S;++i) c[i]=calc(i);
		for(int st=0;st<=S;++st)//就是状态st向其它的状态进行转移的时候的预处理（大概的样子应该就是初始那列的吧……）
		{
			memset(f,0,sizeof(f)); f[0][st]=1;
			for(int i=1;i<=len;++i)//从高到低前 i 位
			{
				for(int j=0;j<=S;++j)//上一次到了这种状态
				{
					if(!f[i-1][j]) continue;
					for(int k=0;k<=S;++k)//枚举这一次的几个填数
					{
						if(c[k]%2!=0) continue;
						for(int num=1;num<=n;++num) val[num]=k>>(num-1)&1;
						val[0]=s[i]-‘0‘;
						for(int num=1;num<=n;++num) cout<<val[num]<<" "; puts("");
						int res=0; bool fl=0;
						for(int num=1;num<=n;++num)
						{
							if(j&(1<<(num-1)))
							{
								if(val[num-1]<val[num]){fl=1; break;}
								if(val[num-1]==val[num])res|=1<<(num-1); 
							}
						}if(fl) continue;
						f[i][res]=add(f[i][res],f[i-1][j]); 
					}
				}
			}
			for(int i=0;i<=S;++i) base[st][i]=f[len][i];
		} 
		base=ksm(base,k); printf("%lld
",base[S][0]);
		return 0;
	}
}
signed main(){return yspm::main();}