Dijstra算法求最短路径

Posted 2020-12-03 两点够吗

参考博客：http://blog.51cto.com/ahalei/1387799

 

       与Floyd-Warshall算法一样这里仍然使用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值如下。

 

       我们还需要用一个一维数组dis来存储1号顶点到其余各个顶点的初始路程，如下。

 

       我们将此时dis数组中的值称为最短路的“估计值”。

       既然是求1号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离1号顶点最近的顶点。通过数组dis可知当前离1号顶点最近是2号顶点。当选择了2号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即1号顶点到2号顶点的最短路程就是当前dis[2]值。为什么呢？你想啊，目前离1号顶点最近的是2号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得1号顶点到2号顶点的路程进一步缩短了。因为1号顶点到其它顶点的路程肯定没有1号到2号顶点短，对吧O(∩_∩)O~

       既然选了2号顶点，接下来再来看2号顶点有哪些出边呢。有2->3和2->4这两条边。先讨论通过2->3这条边能否让1号顶点到3号顶点的路程变短。也就是说现在来比较dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1号顶点到3号顶点的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1号顶点到2号顶点的路程，e[2][3]表示2->3这条边。所以dis[2]+e[2][3]就表示从1号顶点先到2号顶点，再通过2->3这条边，到达3号顶点的路程。

       我们发现dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此dis[3]要更新为10。这个过程有个专业术语叫做“松弛”。即1号顶点到3号顶点的路程即dis[3]，通过2->3这条边松弛成功。这便是Dijkstra算法的主要思想：通过“边”来松弛1号顶点到其余各个顶点的路程。

 

       同理通过2->4（e[2][4]），可以将dis[4]的值从∞松弛为4（dis[4]初始为∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此dis[4]要更新为4）。

       刚才我们对2号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后dis数组为：

 

       接下来，继续在剩下的3、4、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点。通过上面更新过dis数组，当前离1号顶点最近是4号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对4号顶点的所有出边（4->3，4->5和4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

 

       继续在剩下的3、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选择3号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对3号顶点的所有出边（3->5）进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

 

       继续在剩下的5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选择5号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边（5->4）进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

 

       最后对6号顶点所有点出边进行松弛。因为这个例子中6号顶点没有出边，因此不用处理。到此，dis数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。

       最终dis数组如下，这便是1号顶点到其余各个顶点的最短路径。

 

       OK，现在来总结一下刚才的算法。算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是1号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。基本步骤如下：

• 将所有的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个book[ i ]数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i，如果book[ i ]为1则表示这个顶点在集合P中，如果book[ i ]为0则表示这个顶点在集合Q中。

• 设置源点s到自己的最短路径为0即dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点i，则把dis[ i ]设为e[s][ i ]。同时把所有其它（源点不能直接到达的）顶点的最短路径为设为∞。

• 在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。

• 重复第3步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

   1 #include<cstring>
   2 #include<iostream>
   3 #define Max 6
   4 #define inf 0x3f3f3f3f
   5 using namespace std;
   6 
   7 /*
   8     VM[][]->邻接矩阵
   9     v0->起始顶点，即计算顶点v0到其他顶点的距离
  10     prepoint[i]-> 即起始顶点到第i个顶点最短路径所经历的全部顶点中，位于顶点i之前的那个顶点
  11     dist[i]-> 起始顶点到顶点i的最短路径长度 
  12 */ 
  13 
  14 void dijkstra(unsigned int VM[Max][Max],int v0,unsigned int prepoint[],unsigned int dist[])
  15 {
  16     int k;
  17     unsigned int temp,min;
  18     int flag[Max]={0};//flag[i]表示起始顶点到顶点i的最短距离已获取 
  19     for(int i=0;i<Max;i++)
  20     {
  21         flag[i]=0;    //顶点i的最短路径还没获取 
  22         prepoint[i]=0;  //顶点i的前驱顶点是0 
  23         dist[i]=VM[v0][i];  //顶点i的最短路径为起始顶点到顶点i的权 
  24     }
  25     flag[v0]=1; 
  26     prepoint[0]=0;
  27     for(int i=0;i<Max;i++)
  28     {
  29         min=inf;
  30         for(int j=0;j<Max;j++)
  31         {
  32             if(flag[j]==0&&min>dist[j])//寻找当前的最小路径，即数组dist中最小的权的顶点 
  33             {
  34                 min=dist[j];
  35                 k=j;
  36             }
  37         }
  38         flag[k]=1;   //标记顶点k已经获得最短路径 
  39         for(int j=0;j<Max;j++)  //当前已知顶点k的最短路径，更新为获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点 
  40         {
  41             temp=(VM[k][j]==inf?inf:(min+VM[k][j]));
  42             if(dist[j]>temp&&flag[j]==0)
  43             {
  44                 dist[j]=temp;
  45                 prepoint[j]=k;
  46             }
  47         }
  48     }
  49     for(int i=0;i<Max;i++)
  50     {
  51         cout<<"shortest(1,"<<i+1<<")="<<dist[i]<<endl;
  52     }
  53 }
  54 int main()
  55 {
  56     unsigned int VM[Max][Max]={{0, 1, 12, inf, inf, inf},
  57                            {inf, 0, 9, 3, inf, inf},
  58                            {inf, inf, 0, inf, 5, inf},
  59                            {inf, inf, 4, 0, 13, 15},
  60                            {inf, inf, inf, inf, 0, 4},
  61                            {inf, inf, inf, inf, inf, 0}};
  62     unsigned int prepoint[Max];
  63     unsigned int dist[Max];
  64     memset(prepoint,0,sizeof(prepoint));
  65     memset(dist,0,sizeof(dist));
  66     dijkstra(VM,0,prepoint,dist);
  67     return 0;
  68  }