JSOI Salesman 树形Dp

Posted 2020-11-27 An_Fly

题目链接 https://www.luogu.com.cn/problem/P6082

分析

这题一眼应该就能看出来是树形DP，题目中都多次暗示了，所以先把定义搞出来，最开始我跳了一个坑就是把状态定义成了(DP[i][j])，即在(i)号节点停留(j)次的最大收益，然后想啊想，就没有然后了。。。。。
模拟几个样例发现停留次数有一个很特殊的性质，就是最多只能经过该点的儿子停留次数-1次，不然就回不了家了，但好像对我们这个转移没有什么帮助，回去读一遍题，发现点权可能为负？负的？那第二维状态就没意义了，我要是那个(Salesman)，肯定先去赚钱多的，不去亏本的，所以这好像直接用一个贪心就可以了，证明也比较好证吧，去一个权大的点肯定比去一个权小的点收获大，不去负权点肯定比去收获大，所以每次从大到小取够停留次数减一或把正儿子取完即可，所以转移方程就是(DP[u]=sum_{i=1}^s{DP[i]})
下面考虑第二个问题，多组解，因为这是个树，所以只有两种情况有多组解，一是有一个子树的权值为0，这样不管怎么走都可以，另一个是所选的最后一棵子树与一棵未选的子树权值一样，这样我们完全可以选另外一棵子树。关于选子树的话，我用的是堆，这个判断是不是为空啊什么的比较方便，当然用(sort)也行，然后就是代码实现啦，其实想明白也挺简单。

#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
struct Edge{
    int to,nxt;
}e[N<<1];
int Head[N],len;
void Ins(int a,int b){
    e[++len].to=b;e[len].nxt=Head[a];Head[a]=len;
}
struct Node{
    int val,idx;
    Node(){val=idx=0;}
    Node(int a,int b){val=a;idx=b;}
    bool operator <(const Node&A)const{
        return val<A.val;
    }
};
int w[N],lim[N],g[N],dp[N];
inline int read(){
    int w=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){
        if(ch==‘-‘)w=-1;ch=getchar();
    }
    while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘){
        x=x*10+ch-‘0‘;
        ch=getchar();
    }
    return x*w;
}
void dfs(int u,int fa){
    priority_queue<Node > q;
    dp[u]=w[u];
    for(int i=Head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,u);
        q.push(Node(dp[v],g[v]));
    }
    int tot=1,last;
    while(++tot<=lim[u]&&!q.empty()){
        Node now=q.top();q.pop();
        if(now.val<0)break;
        if(now.val==0){g[u]=1;break;}
        dp[u]+=now.val;
        g[u]|=now.idx;
        last=now.val;
    }
    if(!q.empty())if(q.top().val==last)g[u]=1;
}
int main(){
    int n=read();
    lim[1]=N;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        w[i]=read();
    for(int i=2;i<=n;i++)
        lim[i]=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
        int a=read(),b=read();
        Ins(a,b);Ins(b,a);
    }
    dfs(1,0);
    cout<<dp[1]<<‘
‘;
    if(g[1])puts("solution is not unique");
    else puts("solution is unique");
    return 0;
}