[JSOI2019]神经网络

Posted 2020-11-25 Tommy_clas

题目

ddy讲的牛逼题。

由于树和树之间是完全图，所以我们要做的就是把树拆成一堆路径，之后把这些路径合并起来，就能得到哈密顿回路了；

所以首先对每棵树求一个链划分，设(dp_{i,j,0/1/2})表示在子树(i)中划分出了(j)条链，(0)表示点(i)已经划分好了，(1)表示点(i)自己在一条链中，(2)表示点(i)在一条还能继续加点的长度大于(1)的链中，注意到长度大于(1)的链有两个方向，计算贡献的时候需要乘(2)；大力树上背包即可，复杂度(O(n^2))。

再来考虑合并的问题，现在我们把问题转化成了一共有(n)种颜色，每种颜色的有(a_i)个可区分的点，求使得不存在两个相邻同色点的环排列的个数；

首先考虑不是环的情况，考虑容斥，我们枚举一下第(i)中颜色至多分成(b_i)段，大概是

[sum frac{(sum b_i)!}{prod b_i!}prod_{i=1}^n (-1)^{a_i-b_i}inom{a_i-1}{b_i-1}a_i!]

((-1)^{a_i-b_i})是容斥系数，分成(b_i)段就用组合数插板一下；由于乘上(a_i!)，所以所有颜色排列在一起的时候需要保证相对顺序，就是一个有重复元素的排列问题。

不难发现(frac{1}{b_i!})可以拆到里面来，于是不难想到搞一个( m EGF)；

于是某一棵树的( m EGF)就是

[sum_{i=1}^nf_ii!sum_{j=1}^i (-1)^{i-j}inom{i-1}{j-1}frac{x^j}{j!}]

(f_i)是把这棵树拆成(i)条链的贡献。

再来考虑环的情况，不妨钦定第一棵树的(1)号节点作为开头，于是第一棵树的生成函数就是

[sum_{i=1}^nf_i(i-1)!sum_{j=1}^i (-1)^{i-j}inom{i-1}{j-1}frac{x^{j-1}}{(j-1)!}]

由于首位不能是都是第一棵树，于是我们直接减掉这种情况，直接钦定开头是第一棵树的(1)号节点，结尾是第一棵树的某个节点，就有

[sum_{i=1}^nf_i(i-1)!sum_{j=1}^i (-1)^{i-j}inom{i-1}{j-1}frac{x^{j-2}}{(j-2)!}]

最后把所有( m EGF)大力卷起来就好了；

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read() {
    char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int maxn=5e3+5;const int mod=998244353;
inline int dqm(int x) {return x<0?x+mod:x;}
inline int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
inline int ksm(int a,int b) {
    int S=1;for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)if(b&1)S=1ll*S*a%mod;return S;
}
struct E{int v,nxt;}e[maxn<<1];
int fac[maxn],ifac[maxn],lim=5000;
int m,n,sum,num,head[maxn],ans[maxn],f[maxn],g[maxn];
int dp[maxn][maxn][3],tmp[maxn][3],sz[maxn];
inline void add(int x,int y) {
    e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;
}
void dfs(int x,int fa) {
    sz[x]=1;dp[x][0][1]=1;
    for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
        if(e[i].v==fa) continue;
        dfs(e[i].v,x);int v=e[i].v;
        for(re int j=0;j<=sz[v];j++) 
            for(re int k=0;k<=sz[x];++k) {
                if(dp[x][k][0]) {
                    tmp[k+j][0]=qm(tmp[j+k][0]+1ll*dp[v][j][0]*dp[x][k][0]%mod);
                    tmp[k+j+1][0]=qm(tmp[j+k+1][0]+1ll*dp[v][j][1]*dp[x][k][0]%mod);
                    tmp[k+j+1][0]=qm(tmp[j+k+1][0]+2ll*dp[v][j][2]*dp[x][k][0]%mod);
                }
                if(dp[x][k][1]) {
                    tmp[k+j][1]=qm(tmp[j+k][1]+1ll*dp[v][j][0]*dp[x][k][1]%mod);
                    tmp[k+j+1][1]=qm(tmp[j+k+1][1]+1ll*dp[v][j][1]*dp[x][k][1]%mod);
                    tmp[k+j][2]=qm(tmp[k+j][2]+1ll*dp[v][j][1]*dp[x][k][1]%mod);
                    tmp[k+j+1][1]=qm(tmp[k+j+1][1]+2ll*dp[v][j][2]*dp[x][k][1]%mod);
                    tmp[k+j][2]=qm(tmp[k+j][2]+1ll*dp[v][j][2]*dp[x][k][1]%mod);    
                }
                if(dp[x][k][2]) {
                    tmp[k+j][2]=qm(tmp[j+k][2]+1ll*dp[v][j][0]*dp[x][k][2]%mod);
                    tmp[k+j+1][2]=qm(tmp[j+k+1][2]+1ll*dp[v][j][1]*dp[x][k][2]%mod);
                    tmp[k+j+1][0]=qm(tmp[k+j+1][0]+2ll*dp[v][j][1]*dp[x][k][2]%mod);
                    tmp[k+j+1][2]=qm(tmp[k+j+1][2]+2ll*dp[v][j][2]*dp[x][k][2]%mod);
                    tmp[k+j+1][0]=qm(tmp[k+j+1][0]+2ll*dp[v][j][2]*dp[x][k][2]%mod);
                }   
            }
        sz[x]+=sz[e[i].v];
        for(re int j=0;j<=sz[x];++j) 
            for(re int k=0;k<3;k++) dp[x][j][k]=tmp[j][k],tmp[j][k]=0;
    }
}
inline int C(int n,int m) {return 1ll*fac[n]*ifac[n-m]%mod*ifac[m]%mod;}
inline void solve(int id) {
    for(re int i=1;i<=n;i++) 
        for(re int j=0;j<=sz[i];++j) 
            dp[i][j][0]=dp[i][j][1]=dp[i][j][2]=0;
    for(re int i=1;i<=n;i++)head[i]=0;
    n=read();sum+=n;num=0;
    for(re int x,y,i=1;i<n;i++) 
        x=read(),y=read(),add(x,y),add(y,x);
    dfs(1,0);g[0]=0;
    for(re int i=1;i<=n;i++) {
        f[i]=dp[1][i][0];g[i]=0;
        f[i]=qm(f[i]+dp[1][i-1][1]);
        f[i]=qm(f[i]+2ll*dp[1][i-1][2]%mod);
    }
    if(!id) {
        for(re int i=1;i<=n;i++) {
            if(!f[i]) continue;int v=1ll*f[i]*fac[i]%mod;
            for(re int j=1;j<=i;++j) {
                if((i-j)&1) g[j]=dqm(g[j]-1ll*v*C(i-1,j-1)%mod*ifac[j]%mod);
                else g[j]=qm(g[j]+1ll*v*C(i-1,j-1)%mod*ifac[j]%mod);
            }
        }
    }
    else {
        for(re int i=1;i<=n;i++) {
            if(!f[i]) continue;int v=1ll*f[i]*fac[i-1]%mod;
            for(re int j=1;j<=i;j++) {
                if((i-j)&1) g[j-1]=dqm(g[j-1]-1ll*v*C(i-1,j-1)%mod*ifac[j-1]%mod);
                else g[j-1]=qm(g[j-1]+1ll*v*C(i-1,j-1)%mod*ifac[j-1]%mod);
            }
            for(re int j=2;j<=i;j++) {
                if((i-j)&1) g[j-2]=qm(g[j-2]+1ll*v*C(i-1,j-1)%mod*ifac[j-2]%mod);
                else g[j-2]=dqm(g[j-2]-1ll*v*C(i-1,j-1)%mod*ifac[j-2]%mod);
            }
        }
    }
    for(re int nw=0,i=sum;i>=0;ans[i]=nw,nw=0,i--) 
        for(re int j=0;j<=i&&j<=n;j++) nw=qm(nw+1ll*ans[i-j]*g[j]%mod);
}
int main() {
    m=read();fac[0]=ifac[0]=1;ans[0]=1;
    for(re int i=1;i<=lim;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    ifac[lim]=ksm(fac[lim],mod-2);
    for(re int i=lim-1;i;i--)ifac[i]=1ll*ifac[i+1]*(i+1)%mod;
    for(re int i=1;i<=m;++i)solve(i==1);int cnt=0;
    for(re int i=0;i<=sum;i++)cnt=qm(cnt+1ll*ans[i]*fac[i]%mod);
    printf("%d
",cnt);
    return 0;
}