1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

Posted 2020-11-18 InWILL

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Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

 

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B

的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + 

… + (an-bn)^2 )

 

运用小学中定理，无论几维，球心到球面上任何点的距离都相等，因此可以运用两点之间的距离公式求解：d=sqrt(sqr(x1-x)²+sqr(y1-y)²+…)

有此可以列出C_n²个方程，但实际上只需要n个方程就可以了，这里简化运算

进行多元一次方程求解需要用到高斯消元，这里感谢浙大学长的模板

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 using namespace std;
 5 
 6 #define sqr(x) ((x)*(x))
 7 #define eps 1e-6
 8 const int MAXN=30;
 9 double a[MAXN][MAXN],x[MAXN]; //方程的左边的矩阵和等式右边的值，求解之后 x存的就是结果  
10 int equ,var;//方程数和未知数个数
11  /* *返回0表示无解，1表示有解*/ 
12 
13 int n;
14 double s[MAXN][MAXN];
15 
16 int Gauss()
17 {
18     int i,j,k,col,max_r;
19     for(k=0,col=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
20     {
21         max_r=k;
22         for(i=k+1;i<equ;i++)
23             if(fabs(a[i][col])>fabs(a[max_r][col])) max_r=i;
24         if(fabs(a[max_r][col])<eps) return 0;
25         if(k!=max_r)
26         {
27             for(j=col;j<var;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
28             swap(x[k],x[max_r]);
29         }
30         x[k]/=a[k][col];
31         for(j=col+1;j<var;j++) a[k][j]/=a[k][col];
32         a[k][col]=1;
33         for(i=0;i<equ;i++)
34             if(i!=k)
35             {
36                 x[i]-=x[k]*a[i][k];
37                 for(j=col+1;j<var;j++) a[i][j]-=a[k][j]*a[i][col];
38                 a[i][col]=0;
39             }
40     }
41     return 1;
42 }
43 
44 int main()
45 {
46     scanf("%d",&n);
47     equ=var=n;
48     for(int i=0;i<=n;i++)
49         for(int j=0;j<n;j++)
50             scanf("%lf",&s[i][j]);
51     for(int i=0;i<n;i++)
52     {
53         for(int j=0;j<n;j++)
54         {
55             a[i][j]=2*(s[i][j]-s[i+1][j]);
56             x[i]+=sqr(s[i][j])-sqr(s[i+1][j]);
57         }
58     }
59     Gauss();
60     for(int i=0;i<n;i++) printf("%.3lf ",x[i]);
61     return 0;
62 }