bzoj1016：[JSOI2008]最小生成树计数

Posted 2020-08-16 DUXT

思路：模拟kruskal的过程，可以发现对于所有权值相同的边，有很多种选择的方案，而且权值不同的边并不会相互影响，因为先考虑权值较小的边，权值比当前权值大的边显然不在考虑范围之内，而权值比当前权值小的边所组成的连通块已经经过缩点变成一个点了，因此处理权值相同的所有边可以看成是一个阶段，最后的答案也就是所有阶段的答案的乘积（乘法原理）。

那么如何来处理权值相同的方案数呢，同样还是考虑kruskal的过程，因为权值相同的边可能会组成很多个连通块，且连通块之间互不影响，因此只考虑单个连通块即可（还是乘法原理），如果一条边所连接的两个点不在一个连通块内，那么就把这条边算进答案，那么对于一个连通块kruskal的过程显然要让所有点连通，且所选的边恰好构成了一棵树，那么这样问题就转化成了如何求生成树的数量，利用matrix-tree定理，用高斯消元求解kirchhoff矩阵即可。

还有最后不要忘了判图中没有最小生成树的情况（图不连通）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define maxm 1005
#define maxn 105
#define mod 31011

int n,m,cnt,ans=1;
int fa[maxn],pos[maxn];
int K[maxn][maxn];
bool vis[maxn];

vector<int> v[maxn];

struct edge{
	int from,to,val;
	bool operator <(const edge &a)const{return val<a.val;}
}e[maxm];

inline int read(){
	int x=0;char ch=getchar();
	for (;ch<‘0‘||ch>‘9‘;ch=getchar());
	for (;ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘;ch=getchar()) x=x*10+ch-‘0‘;
	return x;
}

int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}

int gauss(){
	int t,n=cnt-1,ans=1,f=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			K[i][j]%=mod;
	for (int i=1;i<n;i++){
		for (t=i;t<=n;t++) if (K[t][i]) break;if (t>n) return 0;
		if (t!=i){for (int j=1;j<=n;j++) swap(K[i][j],K[t][j]);f=-f;}
		for (int j=i+1;j<=n;j++)
			for (;K[j][i];){
				int t=K[i][i]/K[j][i];
				for (int k=i;k<=n;k++) K[i][k]=(K[i][k]-t*K[j][k])%mod;
				for (int k=i;k<=n;k++) swap(K[i][k],K[j][k]);
				f=-f;
			}
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) ans=1ll*ans*K[i][i]%mod;
	return ans*f;
}

void dfs(int x,int num){
	K[num][num]=v[x].size(),pos[x]=num;
	for (unsigned int i=0;i<v[x].size();i++){
		vis[v[x][i]]=0;
		if (!pos[v[x][i]]) pos[v[x][i]]=++cnt,K[num][pos[v[x][i]]]--,dfs(v[x][i],cnt);
		else K[num][pos[v[x][i]]]--;
	}
}

int main(){
	n=read(),m=read();
	for (int i=1;i<=m;i++) e[i].from=read(),e[i].to=read(),e[i].val=read();
	for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	sort(e+1,e+m+1);
	for (int i=1;i<=m+1;i++){
		int ck=find(1);
		for (int j=2;j<=n;j++) if (find(j)!=ck){ck=0;break;}
		if (ck) break;
		int x=find(e[i].from),y=find(e[i].to);
		if (x!=y) vis[x]=1,vis[y]=1,v[x].push_back(y),v[y].push_back(x);
		if (e[i].val!=e[i+1].val){
			for (int j=1;j<=n;j++)
				if (vis[j]){
					for (int a=1;a<=cnt;a++)
						for (int b=1;b<=cnt;b++)
							K[a][b]=0;
					memset(pos,0,sizeof(pos));
					vis[j]=0,cnt=1,dfs(j,cnt);
					ans=1ll*ans*gauss()%mod;
				}
			for (int j=1;j<=n;j++){
				for (unsigned int k=0;k<v[j].size();k++){
					int x=find(j),y=find(v[j][k]);
					if (x!=y) fa[x]=y;
				}
				v[j].clear();
			}
		}
	}
	int check=find(1);
	for (int i=2;i<=n;i++) if (find(i)!=check){check=0;break;}
	printf("%d\n",check?ans:0);
	return 0;
}