floyd算法是动态规划的思想吗

Posted 2023-03-31

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了floyd算法是动态规划的思想吗相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1.定义概览
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall
algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。
2.算法描述
1)算法思想原理：
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k)
+
Dis(k,j)
<
Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j)
=
Dis(i,k)
+
Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
2).算法描述：
a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。
　　
b.对于每一对顶...
1.定义概览
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall
algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。
2.算法描述
1)算法思想原理：
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k)
+
Dis(k,j)
<
Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j)
=
Dis(i,k)
+
Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
2).算法描述：
a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。
　　
b.对于每一对顶点
u
和
v，看看是否存在一个顶点
w
使得从
u
到
w
再到
v
比己知的路径更短。如果是更新它。
3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法
方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角
如下所示
给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点参考技术A 1.定义概览
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall
algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。
2.算法描述
1)算法思想原理：
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k)
+
Dis(k,j)
<
Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j)
=
Dis(i,k)
+
Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
2).算法描述：
a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。
　　
b.对于每一对顶...
1.定义概览
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall
algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。
2.算法描述
1)算法思想原理：
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k)
+
Dis(k,j)
<
Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j)
=
Dis(i,k)
+
Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
2).算法描述：
a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。
　　
b.对于每一对顶点
u
和
v，看看是否存在一个顶点
w
使得从
u
到
w
再到
v
比己知的路径更短。如果是更新它。
3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法
方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角
如下所示
给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

图论动态规划算法——Floyd最短路径

前言

推出一个新系列，《看图轻松理解数据结构和算法》，主要使用图片来描述常见的数据结构和算法，轻松阅读并理解掌握。本系列包括各种堆、各种队列、各种列表、各种树、各种图、各种排序等等几十篇的样子。

Floyd算法

Floyd是一种经典的多源最短路径算法，它通过动态规划的思想来寻找给定加权图中的多源点之间的最短路径，算法时间复杂度是O(n3)。之所以叫Floyd是因为该算法发明人之一是Robert Floyd，他是1978年图灵奖获得者，同时也是斯坦福大学计算机科学系教授。

image

核心思想

对于n个点的加权图，从加权图的权值矩阵开始，递归地更新n次最终求得每两点之间的最短路径矩阵。即加权图的邻接矩阵为 $D=(d_{ij})_{n imes n}$ ，按一定公式对该矩阵进行递归更新，初始时矩阵为D(0)，第一次，根据公式用D(0)构建出矩阵D(1)；第二次，根据公式用D(1)构建出矩阵D(2)；以此类推，根据公式用D(n-1)构造出矩阵D(n)，D(n)即为图的距离矩阵，i行j列表示顶点i到顶点j的最短距离。

动态规划

如何理解这种动态规划算法呢？可以理解为逐一选择中转点，然后针对该中转点，所有以此为中转点的其它点都要根据规定进行更新，这个规定就是原来两点之间的距离如果通过该中转点变小了则更新距离矩阵。比如选择“1”作为中转点，原来“02”之间的距离为5，通过中转点1后（即路径变为“012”）距离为4，变小了，那么就更新距离矩阵对应的元素，由5更新为4。当图中所有顶点都被作为中转点处理以后，那么得到的最后距离矩阵就是多源最短距离矩阵了。

设 $c(i,j,k)$ 为i到j的中间节点编号不超过k的最短距离，当k=0时， $c(i,j,0)=d_{ij}$ ，对于n个顶点的图，我们要求的i到j的最短距离即是 $c(i,j,n-1)$ 。

现在我们建立 $c(i,j,k)$ 和 $c(i,j,k-1)$ 之间的递归关系，对于任意k， $c(i,j,k)=min(c(i,j,k-1),c(i,k,k-1)+c(k,j,k-1))$ ，于是可以根据该递归关系得到最终的最短路径，即中间节点编号不超过n-1的最短距离。

算法过程

从任意一条单边路径开始，所有两点之间的距离是边的权重，如果两点之间没有边相连，则权重为无穷大。即用数组 $D=(d_{ij})_{n imes n}$ 来记录i,j之间的最短距离，初始时，若i=j则dis[i][j]=0。若i、j两点之间相连则dis[i][j]的值为该边的权值。若i、j两点没有相连则dis[i][j]的值为无穷。
对于每一对顶点u和v，看看是否存在一个顶点w使得从u到w再到v比已知的路径更短，如果存在则更新。即对所有的k值(1<k<n)，计算(d[i][k]+d[k][j])的值，若其小于d[i][j],则d[i][j]=d[i][k]+d[k][j]，否则d[i][j]的值不变。

神奇的五行代码

Floyd算法核心就是下列五行代码，可以体会一下，三个for循环嵌套，最外层的k即是循环取不同中转点时的情况，分别让图中每个顶点作为中转点去更新距离，完成所有循环后就是最终的最短距离矩阵。

for(k=1;k<=n;k++)
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++) 
            if(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j]) 
                    d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];

优缺点

优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。对于稠密图效果最佳，边权可正可负。

缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

执行过程

对于一个拥有7个顶点的无向加权图，分别用0-6来表示图的每个顶点，每条边上的数字为对应的权重。

首先根据每条边的权重来初始化距离矩阵，这是一个[7x7]的矩阵，行列分别对应两个顶点，比如第0行第1列表示顶点0到顶点1，对应的值为3，即权值为3。以此类推，其它元素分别代表对应边的权重。

当以顶点0为中转点时

逐一查找看是否有以0为中转点使得距离更短，实际上并不用比较所有矩阵的元素，只需比较满足if (i != j && j != k && i != k)条件的元素，即都为0的对角线和中转点对应的行列不用比较，因为对角线上的元素表示顶点自己到自己的距离，所以无需比较，而中转点对应的行列表示顶点到中转点的距离，也无需比较。

比较d[1][2]与d[1][0]+d[0][2]，因为1<3+5，所以不更新d[1][2]。