线性代数——矩阵

Posted 2023-03-30 超级种码

文章目录

• 版权声明
• 基础概念
• 矩阵的运算
• • 矩阵的加法
  • 数与矩阵相乘
  • 矩阵的乘法
  • 矩阵的转置
• 矩阵和方程组
• 方阵和行列式
• 伴随矩阵
• 可逆矩阵
• 分块矩阵
• 矩阵的初等变换
• • 初等矩阵
  • 等价矩阵
  • 行阶梯矩阵
  • 行最简矩阵
  • 初等变换在矩阵求解中的应用
• 矩阵的秩

版权声明

本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。

基础概念

• 矩阵：由$m\times n$个数组成的$m$行$n$列的表格称为一个$m\times n$矩阵，记为$A$。当$m=n$时，称$A$为$n$阶矩阵。
  $$\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}& \\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}& \\ ⋮& ⋮& & ⋮& \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}& \end{array}\right]$$
• 同型矩阵：如果$A$和$B$都是$m\times n$矩阵，那么称$A$和$B$是同型矩阵。
• 相等矩阵：设$A,B$是同型矩阵，如果$a_{ij}=b_{ij}(\forall i=1,2,\dots ,m;j=1,2,\dots ,n)$，则称$A$和$B$相等，记为$A=B$。
• 零矩阵：如果一个矩阵的所有元素都是$0$，那么就称这个矩阵为零矩阵，记为$O$。
• 对角矩阵： $$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & \\ & a_{22}& & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{array}\right]$$
• 单位矩阵：$$\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & \ddots & \\ & & & 1\end{array}\right]$$记为$E$。
• 上三角矩阵：$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ & a_{22}& \dots & a_{2n}\\ & & \ddots & ⋮\\ & & & a_{nn}\end{array}\right]$$当$i>j$时，$a_{ij}=0$
• 下三角矩阵：$$[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{n1}\end{array}$$