石子合并问题（动态规划）

Posted 2023-03-29 成、谋

石子合并问题是一个经典的动态规划问题，应用了最优子结构和重复子问题的思想。

有如下3种题型：

不加限制的合并

(1)有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动任意的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成

(动态规划)O(n^3)
设dp[i][j]表示将i至j之间的石子合并成一堆的最小花费。
初始时，对于任意i，都有dp[i][i]=0，因为合并一堆石子不需要花费。
对于区间[i,j]，枚举合并点k，则该区间合并的最小花费为: dp[i][k]+ dp[k＋1][j]＋sum[i][j]，其中 sum[i][j]表示区间[i,j]中石子数量的和。最终答案即为dp[1][n]。

线性（相邻）合并问题

(2)有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。

具体思路如下：

1. 确定状态

设dp[i][j]表示合并第i到j个石子的最小代价。

     2.确定状态转移方程

对于第i到第j个石子的合并，可以选择在任意一个位置k断开，将问题分成合并i到k之间的石子和合并k+1到j之间的石子两个子问题。

因此，可以得到状态转移方程：

dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j]) (i <= k < j)

其中sum[i][j]表示第i到第j个石子的重量和，即需要合并的代价。

      3.确定边界

当只有一个石子时，代价为0，因此dp[i][i] = 0。

      4.最终结果

最终的结果为dp[1][n]，表示合并全部石子的最小代价。

for (int len = 1; len < n; len++)  // 区间长度
		
			for (int i = 1; i + len <= n; i++)  //区间起点
			
				int j = i + len; //区间终点
				for (int k = i; k < j; k++)
				
					sum[i][j] = sum[i][k] + sum[k + 1][j];
					dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[i][j]);
				
			
		

我的代码

我在下面的代码中，对sum数组进行了优化（前缀和优化），用s数组表示

#include <iostream> 
#include <cstring> 
using namespace std;
const int N = 310; 
int n; 
int a[N], s[N]; // s数组用于前缀和优化
int f[N][N]; // f[i][j]表示合并第i~j堆石子的最小代价

int main()  
	cin >> n; 
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
		cin >> a[i];

	// 前缀和优化
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
		s[i] = s[i - 1] + a[i];
	
	memset(f, 0x3f, sizeof f); // 初值无穷大
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
		f[i][i] = 0; // 一堆石子不需要合并
	
	// 枚举区间长度
	for (int len = 2; len <= n; len ++ )
	
	    // 枚举区间起点
	    for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++ )
	    
	        int j = i + len - 1; // 区间终点
	
	        // 枚举划分位置
	        for (int k = i; k < j; k ++ )
	        
	            f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
	        
	    
	
	
	cout << f[1][n] << endl;	
	return 0;

环形合并

(3)问题(2)的是在石子排列是直线情况下的解法，如果把石子改为环形排列，又怎么做呢？

核心思想：

将环形转换为直线
通过将数量变为 2n来转换成直线问题。 比如数组a【1,2,3】，但是环形的要求是1也可以和3连上，所以我们可以把数组a当成 【1,2,3,1,2,3】。这样，我们就可以算出 【2,3,1】的，【3,1,2】的。

我的代码：

#include <iostream> 
#include <cstring> 
using namespace std;
const int N = 310; 
int n; 
int a[2*N+1], s[2*N+1]; // s数组用于前缀和优化
int f[2*N+1][2*N+1]; // f[i][j]表示合并第i~j堆石子的最小代价

int main()  
	cin >> n; 
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
		cin >> a[i];
	for (int i = n + 1; i <= 2 * n; i++)
		a[i] = a[i - n];
	
	// 前缀和优化
	for (int i = 1; i <= 2 * n; i ++ ) 
		s[i] = s[i - 1] + a[i];
	
	memset(f, 0x3f, sizeof f); // 初值无穷大
	for (int i = 1; i <= 2 * n; i ++ ) 
		f[i][i] = 0; // 一堆石子不需要合并
	
	// 枚举区间长度
	for (int len = 2; len <= n; len ++ )
	
	    // 枚举区间起点
	    for (int i = 1; i + len - 1 <= 2 * n; i ++ )
	    
	        int j = i + len - 1; // 区间终点
	
	        // 枚举划分位置
	        for (int k = i; k < j; k ++ )
	        
	            f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
	        
	    
	
	
	cout << f[1][n] << endl;
	return 0;

通过上述的状态转移方程，可以将问题分解成两个子问题，并且可以通过最优子结构来推导出最终的结果。同时，由于每个子问题都有重复的子问题，因此可以通过动态规划算法来避免重复计算，提高算法效率。

动态规划之环形石子合并问题

题目

在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选择相邻的两堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。

测试用例：

输入：

4（石子的堆数）
4 4 5 9（每一堆的石子数目）

输出：

43 54

 分析：

我们知道链式的石子合并问题是相邻两堆之间可以合并，那么环形的和链式的区别就在于，环形的相当于是链式的头尾两堆也能合并

那么，我们只要解决，如何在链式的基础上更换每次头和尾的问题即可，即环形的切割点

n堆，有n个切割点，每次以区间长度为n的链式的进行求解。

如果想n个切割点，每次长度为n，那么我们创建长度为2*n的数组，存放两次石子序列即可。

 

最优子结构：

和链式一样，合并两堆的代价最小

即把当前的链式区间划分，左+右+合并左右 的代价达到最优即可

 int f[2 * n + 1][2 * n + 1];  //计算合并的最小值 f[i][j]表示i到j这个范围内合并的代价

 int g[2 * n + 1][2 * n + 1];  //计算合并的最大值 g[i][j]表示i到j这个范围内合并的代价

#include <iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
//每次选取相邻的两堆合并 环形可以开2*n大小的数组，然后以n为区间进行求值
//最优子问题：求解每小个区间（以k为分割点，左右还有合并左右的代价
//这里计算合并左右的代价可以利用前缀和的方法 s[r]-s[l-1]
#define Max 10005
#define N 410
int MAX(int a,int b){
    return a>b?a:b;
}
int MIN(int a,int b){
    return a<b?a:b;
}
int main() {
  int n;
  cin >> n;
  int a[2 * n + 1] = {};
  int f[2 * n + 1][2 * n + 1];  //计算合并的最小值 f[i][j]表示i到j这个范围内合并的代价
  int g[2 * n + 1][2 * n + 1];  //计算合并的最大值 g[i][j]表示i到j这个范围内合并的代价
   memset(f,Max,sizeof(f));
   memset(g,-Max,sizeof(g));
  int s[2 * n + 1] = {};
  for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
    cin >> a[i];
    a[i + n] = a[i];
  }
  for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) {  //计算前缀和
    s[i] = s[i - 1] + a[i];
    f[i][i]=0;
    g[i][i]=0;
  }
  //状态计算
  for (int len = 2; len <= n; len++) {  //区间划分
    for(int l=1;l+len-1<=2*n;l++){//左右
        int r=l+len-1;
        for(int k=l;k<r;k++){  //选择区间分割点 
          f[l][r]=MIN(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
          g[l][r]=MAX(g[l][r],g[l][k]+g[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
    }
  }
}
     int min=Max,max=-Max;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        min=MIN(min,f[i][i+n-1]);
        max=MAX(max,g[i][i+n-1]);
    }
    cout<<min<<" "<<max<<endl;
}