[BZOJ 2257][JSOI2009]瓶子和燃料 题解（GCD）

Posted 2020-11-02 COLIN·GAO

[BZOJ 2257][JSOI2009]瓶子和燃料

Description

jyy就一直想着尽快回地球，可惜他飞船的燃料不够了。
有一天他又去向火星人要燃料，这次火星人答应了，要jyy用飞船上的瓶子来换。jyy
的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ，经过协商，火星人只要其中的K 个 。 jyy
将 K个瓶子交给火星人之后，火星人用它们装一些燃料给 jyy。所有的瓶子都没有刻度，只
在瓶口标注了容量，第i个瓶子的容量为Vi（Vi 为整数，并且满足1<=Vi<=1000000000 ） 。
火星人比较吝啬，他们并不会把所有的瓶子都装满燃料。他们拿到瓶子后，会跑到燃料
库里鼓捣一通，弄出一小点燃料来交差。jyy当然知道他们会来这一手，于是事先了解了火
星人鼓捣的具体内容。火星人在燃料库里只会做如下的3种操作：1、将某个瓶子装满燃料；
2、将某个瓶子中的燃料全部倒回燃料库；3、将燃料从瓶子a倒向瓶子b，直到瓶子b满
或者瓶子a空。燃料倾倒过程中的损耗可以忽略。火星人拿出的燃料，当然是这些操作能
得到的最小正体积。
jyy知道，对于不同的瓶子组合，火星人可能会被迫给出不同体积的燃料。jyy希望找
到最优的瓶子组合，使得火星人给出尽量多的燃料。

Input

第1行：2个整数N,K，
第2..N 行：每行1个整数，第i+1 行的整数为Vi

Output

仅1行，一个整数，表示火星人给出燃料的最大值。

Solution

1.考虑火星人只会在瓶子之间倒来倒去，不会倒掉一半或其他神奇的手段，所以他们能搞出来的燃料体积应该是所有瓶子容积的线性组合；

2.通过裴蜀定理我们可以轻松的证明，对于任意的一些整数，他们能组合出的最小正整数是他们的GCD，所以答案即为求所有数的约数中超过k个的最大值；

3.考虑到计数器数组开不下，改用数组存所有约数，最后sort一遍，O（n）找最优解。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,m,divs[10000001],tot,cnt=1;

inline int rd(){
	int x=0;
	char c=getchar();
	while(!isdigit(c))c=getchar();
	while(isdigit(c)){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
		c=getchar();
	}
	return x;
}

inline int mx(int x,int y){return x>y?x:y;}

inline bool cmp(int x,int y){return x>y;}

void calc(int v){
	int temp=sqrt(v);
	for(int i=1;i<temp;++i)
		if(!(v%i)){
			divs[++tot]=i;
			divs[++tot]=v/i;
		}
	if(!(v%temp)){
		divs[++tot]=temp;
		if(v/temp!=temp) divs[++tot]=v/temp;
	}
}

int main(){
	n=rd();m=rd();
	for(int i=1;i<=n;++i) calc(rd());
	sort(divs+1,divs+1+tot,cmp);
	for(int i=2;i<=tot;++i)
		if(divs[i]!=divs[i-1]){
			if(cnt>=m){printf("%d",divs[i-1]);return 0;}
			cnt=1;
		}
		else ++cnt;
	return 0;
} 

GCD基础知识部分可以参考我的随笔：http://www.cnblogs.com/COLIN-LIGHTNING/p/8371664.html