P4035 [JSOI2008]球形空间产生器

Posted 2020-11-01 $mathcal{Lance1ot}$

P4035 [JSOI2008]球形空间产生器

题目

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题目大意

给出n维空间上的n+1个点，且这些店都在一个圆的表面，求圈心坐标.

定义：

1. 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。

2. 两点间距离公式

\[ A(x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots x_n) \]

\[ B(y_1,y_2,y_3,y_4,\cdots y_n) \]

\[ distance:\sqrt[2]{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2} \]

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题目看上去应该就是解方程了。

我们可以使用gauss消元法。

不过问题就来了。这是一个二次多元方程组。而我们的gauss只能解决一次。而且gauss的前提是有n个未知数，我们必须有n个方程。（当然有些不严谨）

我们就要考虑移项和再设一个未知数。

原方程中的一个：我们先设一个数，r。表示根据圆的标准方程算出来的半径

A为一个点，R为圆心

\[A(x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots x_n)\]

\[R(y_1,y_2,y_3,y_4,\cdots y_n)\]

\[\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2=r^2\]

\[\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\sum_{i=1}^{n}2x_iy_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2=r^2\]

请注意这里的A的坐标都是已知量。而r和R的坐标不是

然后我们移项
\[-\sum_{i=1}^{n}2x_iy_i+(\sum_{i=1}^{n}y_i^2-r^2)=-\sum_{i=1}^{n}x_i^2\]

最绕的一步来了

我们将括号内的整体代换（或看成一个未知数）

这样就有n+1个未知数来了。而且我们解出方程来后，我们只需要前n个未知数。后面我们后面设的未知数虽然解出来了。但是没有什么用。只是我们一个辅助变量

同时，这个题也告诉我们一些小技巧。

1. 出题人不可能多给条件。有些是要我们自己设的
2. 遇到二次方程。可以考虑拆括号和移项。然后进行还原达到降幂的目的

#include<cstdio> 
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double map[15][15];
double ans[15];
int n;
void gauss()
{
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
    {
        int r=i;
        for(int j=i+1;j<=n+1;j++)
            if(fabs(map[r][i])<fabs(map[j][i]))
                r=j;
        if(r!=i)
            for(int j=i;j<=n+2;j++)
                swap(map[i][j],map[r][j]);
        double div=map[i][i]; 
        for(int j=i;j<=n+2;j++)
            map[i][j]/=div;
        for(int j=i+1;j<=n+1;j++)
        {
            div=map[j][i];
            for(int k=i;k<=n+2;k++)
                map[j][k]-=div*map[i][k];
        }
    }
    ans[n+1]=map[n+1][n+2];
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        ans[i]=map[i][n+2];
        for(int j=i+1;j<=n+1;j++)
            ans[i]-=map[i][j]*ans[j];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
    {
        double data;
        for(int j=1;j<=n;j++) 
        {
            scanf("%lf",&data);
            map[i][j]=-2.0*data;
            map[i][n+2]-=data*data;
        }
        map[i][n+1]=1;
    }
    gauss();
    printf("%.3lf",ans[1]);
    for(int i=2;i<=n;i++)
        printf(" %.3lf",ans[i]);
}