追赶法求解方程组备忘

Posted 2023-03-29 泰 戈 尔

本篇内容为数值分析中，用追赶法求解方程组的方法，备忘如下：

1. 原理部分

追赶法求解的矩阵格式一般如下：

a1 c1  0  0
b2 a2 c2  0
0  b3 a3 c3
0  0  b4 a4

如果矩阵 A 存在 doolittle 分解，则计算步骤：

1. 首先需要对矩阵进行 LU 分解，得到两个三对角矩阵 L 和 U。
2. 然后依次求解 Ly=b 和 Ux=y 两个线性方程组即可得到方程组的解。

L 和 U 的格式如下

      1  0   0  0            q1 c1  0  0
L =   p2 1   0  0   U =      0  q2 c2  0
      0  p3  1  0            0  0  q3 c3
      0  0   p4 1            0  0   0 q4

可以看出，L 对角线元素均为 1；U 中 C1、C2、C3 等都是照抄下来。
优势也会把这个矩阵合并化简成如下格式

q1 c1  0   0 
p2 q2  c2  0
0  p3  q3  c3
0  0   p4  q4

计算规则/步骤为：

• q1 = a1
• pi = bi/q(i-1)
• qi = ai - pi*c(i-1)

更通俗的描述为：

• q1 为 a1，照抄下来即可
• pi 等于 bi/q(i-1) 即，“我自己” ➗ “我上面（U 矩阵中对应位置的元素）”
• qi 等于 ai - pi*c(i-1) 即，原矩阵该位置 - “我左边（L 矩阵中）” ✖️ “我上面（U 矩阵中对应位置）”

2. 例题解答

设系数矩阵如下，则求解过程为：

解答过程如下

参考资料汇总：

• 思路参考
• 例题矩阵参考