[BZOJ1013][JSOI2008]球形空间产生器sphere

Posted 2020-10-20 租酥雨

题面戳我
给你n+1个n维坐标，求它们的球心坐标。保证数据有解。n<=10
n维上的距离定义：设两个n维空间上的点\(A\),\(B\)的坐标为\((a_1, a_2, …, a_n)\), \((b_1, b_2, …, b_n)\)，则AB的距离定义为：
\[dist = \sqrt {(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 +… + (a_n-b_n)^2} \]

sol

首先n+1个点确定一个n维的球没错吧（三点确定一个圆嘛）
而n维空间的坐标相当于一个n维向量，有n个未知变量
所以就想到列方程啊，列出n个方程就可以了
我们设球心坐标\((x_0,y_0,z_0...)\)，那么每个点到球心的距离都相等，通过这个两两列等式（其实只要用第一个坐标和后面的n个坐标列等式就可以了）
比如说这样（为避免精度问题所以不开方）
\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2+...=(x'-x_0)^2+(y'-y_0)^2+(z'-z_0)^2+...\]
拆了
\[2(x'-x)x_0+2(y'-y)y_0+2(z'-z)z_0=x'^2+y'^2+z'^2+...-x^2-y^2-z^2-...\]
整体看来这就是n个n元方程嘛
所以高斯消元即可

code

注意输出处理，不然会PE。。。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 20;
int n;
double x[N][N],a[N][N],tot[N],sol[N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%lf",&x[i][j]),tot[i]+=x[i][j]*x[i][j];
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=n;j++)
            a[i][j]=2*(x[i][j]-x[0][j]);
        a[i][n+1]=tot[i]-tot[0];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
            for (int k=n+1;k>=i;k--)
                a[j][k]-=a[i][k]*a[j][i]/a[i][i];
    for (int i=n;i;i--)
    {
        sol[i]=a[i][n+1];
        for (int j=n;j>i;j--) sol[i]-=a[i][j]*sol[j];
        sol[i]/=a[i][i];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (i<n) printf("%.3lf ",sol[i]);
        else printf("%.3lf",sol[i]);
    return 0;
}