DFA确定化和最小化

Posted 2023-03-20

参考技术A

从正规式开始

通过下面的对应法则将正规式转换成NFA

例如：

运用子集法的3个概念：
(1 )状态集的ε-闭包: 状态集I中的任何状态s经任意条ε弧而能到达的所有状态的集合，定义为状态集I的ε -闭包，表示为ε -closure()。

(2)状态集的a弧转换: 状态集I中的任何状态s经过一条a弧而能到达的所有状态的集合，定义为状态集1的a弧转换，表示为move(l,a)。

(3)状态集的a弧转换的闭包a: lg= ε-closure(move(l,a))

上面的正规式转换成NFA：

先从初态0开始求：
  【因为每个状态通过一条ε弧到达自己本身，所以求得ε的闭包包含自己】
（1）求0的ε的闭包：经过任意条ε所能到达的状态，集合为0,1,3,4,5,6,7,9
（2）求0的a弧转换：1经过a弧到达2，4经过a弧到达4，其余没有经过一条a弧到达某个状态，所以集合为2,4
（3）求a弧转换的闭包：2,4分别经过任意条ε所能到达的状态，集合为2,4,6,7,9
（4）求0的b弧转换：5经过b到5，7经过b到8，，其余没有经过一条b弧到达某个状态，所以集合为5,8
（5）求b弧转换的闭包：5,8分别经过任意条ε所能到达的状态，集合为5,6,7,8,9
0的ε-闭包：0,1,3,4,5,6,7,9
0的a弧转换：2,4
0的a弧转换的ε-闭包：2,4,6,7,9
0的b弧转换：5,8
0的b弧转换的ε-闭包：5,6,7,8,9
现在列一个表格：
（1）表格的列数为输入字符的个数+1，此题为a，b两个输入字符，所以为3列。
（2）第一列第一行填写初态的ε-闭包（此题0的ε-闭包），第二列第一行填写初态的a弧转换的ε-闭包（此题0的a弧转换的ε-闭包），第三列第一行填写初态的b弧转换的ε-闭包（此题0的b弧转换的ε-闭包）......以此类推。
（3）第一列的第二行以下填入上一行第二列以后的没有出现过的状态集。（此题第一行第二列第三列都没有出现在第一列中，将他们填入第一列）

下图为填好的表：
【新的终态的判断方法就是包含原来终态的集合就为终态，例如此题原来终态为9，所以包含9的集合就为终态，[双圈代表终态]；
新的初态就是包含原来初态的集合就为初态，例如此题原来初态为0，所以包含0的集合就为初态】

为表里的状态集重新标上号：

先了解几个概念：
1.多于状态：对于一个状态Si，若从开始状态出发，不可能到达改状态Si，则Si为多余（无用）状态。
2.死状态：对于一个状态Si，对于任意输入符号a，若转到它本身后，不可能从它到达终止状态，则称Si为死状态。
都称为无关状态
3.等价状态：若Si为自动机的一个状态，我们把从Si出发能导出的所有符号串的集合记为L（Si）。
设有两个状态Si和Sj，若有L（Si）=L（Sj），则称Si和Sj是等价状态。
4.可区别状态：自动机中两个状态Si和Sj，如果它们不等价，则称它们可区别。
5.两个状态(Si和Sj)等价的判断条件:
（1）状态Si和Sj必须同时为终止状态或同时为非终止状态。即终止状态和非终止状态是可区别的。
（2）状态Si和Sj对于任意输入符a∈Σ，必须转到等价的状态里，否则Si和Sj是可区别的。

DFA的化简算法：对于DFA M=(S,Σ,f,S0,Z)
(1)首先将DFA的状态集进行初始化，分成Π=(Z,S-Z);
(2) 用下面的过程对Π构造新的划分Π new
for (Π中每个组G) do //每个组都是一个状态集
begin
把G划分成小组，G中的任意两个状态Si和Sj在同一组中，当且仅当对于Σ中任意输入符号a ，Si和Sj的a转换是到同一组中，move(Si,a) ∈Gi ，move(Sj,a) ∈Gi。这样，只要Si和Sj的a转换是到不同的组中，则说明Si和Sj是可区别的，可进行划分。在Π new中用刚完成的对G的划分代替原来的G。
end ; Π := Π new；
(3)重复执行(2)，直到Π中每个状态集不能再划分(Π new= Π)为止;
(4)合并等价状态 ,在每个G中，取任意状态作为代表，删去其它状态;
(5)删去无关状态，从其它状态到无关状态的转换都成为无定义。
举例：

之前上面这个图画错了,现在图已经修改过了,谢谢提醒 :-D