IEEE754表示浮点数

Posted 2023-03-19

参考技术A

IEEE754标准包含一组实数的二进制表示法。它有三部分组成：

三种精度的浮点数各个部分位数如下：

对于将某个实数表示为计算机浮点数，首先要将其 正规化 ，也就是表示为形如：

的样子。其中 b 是 0 或 1 ，而 p 二进制数表示的指数位。这样，假设想表示为单精度(float)的浮点数，那么：

上述中有一个词： 移码 （exponential bias）。因为指数 p 有正有负，那么在8位的指数位中我们就要拿出第一位来 指示符号 ，这样显然会造成不必要的浪费。给指数加上移码，就能保证结果 总是 一个非负数，也就可以将8个指数位都利用起来。对于有 M 个指数位的精度，其移码为：

这样就得到上面三种精度的移码：

通过此例可知，3.14的单精度浮点数表示是 0 1000-0000 1001-0001-1110-1011-1000-011 。现在我们来还原，看看它的误差：

利用二进制转十进制，可得它对应的十进制数是： 3.1400001049041748046875 。显然与3.14是有误差的。

我们再通过另一种方法估算误差。从例子中可知，对于3.14的单精度浮点数，我们舍去了第24位以及之后，它们是：
0.00... ^(23个0) ....00 [10001111.....]×2 ¹ b 。
为了方便计算，不妨假设此后全是0（即方括号中省略部分），也就是舍去了：
0.10001111b×2 ^-23 ×2 ¹ b
约为0.00000013317912817001；由于舍入进位关系，给第23位又加了1，所以加了：2 ^-23 ×2 ¹ ，故而要减去这一部分。
所以，误差约为2 ^-23 ×2 ¹ - 0.10001111b×2 ^-23 ×2 ¹ =0.00000010523945093155。所以结果大致为3.14+0.00000010523945093155= 3.14000010523945093155 。
可见和上面计算结果大致相同。

机器ε表示1与大于1的最小浮点数之差。不同精度定义的机器ε不同。以双精度为例，双精度表示的1是：

而比1大的最小双精度浮点数是：

从正规化中可知， 无论如何 浮点数都满足最左边是1。这就有一个严重问题：0没有办法被表示。为此，可以使用 非正规化 的表示方法，即让最左边默认为0，这样再另尾数也全部为0，就可以表示0了。

新的问题又来了： 根据什么 判断是非正规化还是正规化呢？

答案就是通过 指数部分 来反映。记得前面说过，双精度浮点数中， 指数加移码 的范围可以从0到2047，然而0和2047是作为他用的。在这里， 指数部分为0就代表着非正规化 。

所以，当见到指数部分为0是，尾数部分就不再是 1.bbbbb... 而是 0.bbbbb... 了。
再进一步，对于非正规化，可以看成是正规化中，小数点向 左边 跑了一位：1.bbbb....×2 ^-1023 =0.1bbbb....×2×2 ^-1023 ==0.1bbbb....×2 ^-1022 （只是概念上理解，小数第一位也不一定非要是1，如 0.001010×2^-1022 也可）。所以，非正规化下表示为：

现在，0就可以表示了。值得注意的是，此时0可以表示位+0和-0。

因为它的最左边不是1是0，实际上可以表示更小的数。双精度浮点数下，使用非正规化可以表示的 最小的正数 是0.00......01×2 ^-1022 也就是2 ^-52 ×2 ^-1022 = 2 ^-1074 。

请注意这个最小数和前面提到的机器ε的 区别 。比机器ε小的数是可以被表示出来的（利用非正规化）。但是当它们与其他浮点数做运算时，因为要转成同一种格式（正规化格式），从而可能会因为溢出位而被舍弃。最终结果就是，这些更小的数尽管能被表示，但是对运算结果没有影响。

上面说到，在双精度浮点数中，指数为0表示非正规化，那么指数为2047（二进制是111 1111 1111b，即11位指数位全为1）就表示无穷大和NaN（Not a Number）。具体表现在，当指数是2047，当尾数,全为0就表示无穷大，当尾数不全为0就表示NaN。

以52位尾数位的双精度浮点数为例，舍入时需要重点参考第53位：

由于存在这种舍入规则，浮点数一般在机器内都不会以原数精确相等的存储，这就会使在某些情况下，使用浮点数做算术运算时出现令人费解的情况，如在javascript中（数以双精度存储）：

可见机器表示中，9.4-9-0.4 不严格等于 0，其结果有极小误差。因为按照上面的算法可知，9.4在机器内被表示为：9.4+0.2×2 ^-49 ，而0.4被表示为0.4+0.1×2 ^-52 。这样，当9.4-9时（因为9是整数是可以精确存储的）得0.4+0.2×2 ^-49 ，再减去0.4+0.1×2 ^-52 得3×2 ^-53 ，约等于"0.00000000000000033307"。