[BZOJ]1027 合金(JSOI2007)

Posted 2020-10-10 ACMLCZH

　　不知道该如何评价吧，很神的一道题，就算是10年前的题目也不可小觑啊。

 

Description

　　某公司加工一种由铁、铝、锡组成的合金。他们的工作很简单。首先进口一些铁铝锡合金原材料，不同种类的原材料中铁铝锡的比重不同。然后，将每种原材料取出一定量，经过融解、混合，得到新的合金。新的合金的铁铝锡比重为用户所需要的比重。 现在，用户给出了n种他们需要的合金，以及每种合金中铁铝锡的比重。公司希望能够订购最少种类的原材料，并且使用这些原材料可以加工出用户需要的所有种类的合金。

Input

　　第一行两个整数m和n，分别表示原材料种数和用户需要的合金种数。第2到m + 1行，每行三个实数a, b, c，分别表示铁铝锡在一种原材料中所占的比重。第m + 2到m + n + 1行，每行三个实数a, b, c，分别表示铁铝锡在一种用户需要的合金中所占的比重。

Output

　　一个整数，表示最少需要的原材料种数。若无解，则输出–1。

Sample Input

　　10 10
　　0.1 0.2 0.7
　　0.2 0.3 0.5
　　0.3 0.4 0.3
　　0.4 0.5 0.1
　　0.5 0.1 0.4
　　0.6 0.2 0.2
　　0.7 0.3 0
　　0.8 0.1 0.1
　　0.9 0.1 0
　　1 0 0
　　0.1 0.2 0.7
　　0.2 0.3 0.5
　　0.3 0.4 0.3
　　0.4 0.5 0.1
　　0.5 0.1 0.4
　　0.6 0.2 0.2
　　0.7 0.3 0
　　0.8 0.1 0.1
　　0.9 0.1 0
　　1 0 0

Sample Output

　　5

HINT

　　m, n ≤ 500，a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1。

 

Solution

　　先说一个结论：设v1,v2...vn是n个向量，a1,a2...an是n个未知常数，且a1+a2+...+an=定值d。

　　那么合成向量V=a1v1+a2v2+...+anvn一定位于向量dv1,dv2...dvn构成的凸包内。

　　不知道怎么证明的可以先从两个向量的情况开始YY一下，小C就不多做解释了。

　　所以这题想干啥？三维凸包？仔细一想还不一定是凸包，因为它要求点数最少。

　　我们发现这个向量实际上是只有两维的，因为确定了两维之后，第三维是完全确定的。

　　所以就只剩两维了，但还是不能从凸包入手，怎么办？这时我们需要一些窒息操作。

　　题目要求我们在m个点中求一个点数（边数）最小的多边形，把n个点全部包在内。

　　这个多边形上的边一定满足所有n个点都在这条边的一侧。

　　所以找这个多边形就相当于从一个点出发，每次只走n个点都在一侧的边，走最少的边数，回到起点！

　　所以问题就变成了在有向图上找最短长度的环！最短路径问题！！

　　m只有500，用Floyd就行，为了拿排名你可以选择Dijkstra，由于边长只有1你甚至可以bfs。

　　注意一开始要把答案为1和答案为2的情况特判掉。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define INF 0x3FFFFFFF
#define MN 505
#define eps 1e-12
using namespace std;
struct vec
{
    double x,y;
    friend vec    operator-(const vec& a,const vec& b) {return (vec){a.x-b.x,a.y-b.y};}
    friend double operator/(const vec& a,const vec& b) {return a.x*b.y-a.y*b.x;}
    friend double abs(const vec& a) {return a.x*a.x+a.y*a.y;}
}a[MN],b[MN];
int dis[MN][MN];
int n,m,ans;

inline int read()
{
    int n=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<‘0‘ || c>‘9‘) {if(c==‘-‘)f=-1; c=getchar();}
    while (c>=‘0‘ && c<=‘9‘) {n=n*10+c-‘0‘; c=getchar();}
    return n*f;
}

bool cmp1(const vec& A,const vec& B) {return A.y<B.y || A.y==B.y && A.x<B.x;}
bool check(const vec& A,const vec& B)
{    
    vec AB=B-A;
    for (register int i=1;i<=m;++i)
        if (AB/(b[i]-A)<-eps) return false;
    return true;
}

int main()
{
    register int i,j,k;
    double z;
    n=read(); m=read();
    for (i=1;i<=n;++i) scanf("%lf%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y,&z);
    for (i=1;i<=m;++i) scanf("%lf%lf%lf",&b[i].x,&b[i].y,&z);
    for (i=1;i<=n;++i)
    {
        for (j=1;j<=m;++j) if (a[i].x!=b[j].x||a[i].y!=b[j].y) break;
        if (j>m) return 0*printf("1");
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp1);
    for (i=1;i<n;++i)
        for (j=i+1;j<=n;++j)
        {
            for (k=1;k<=m;++k)
            {
                if (fabs((b[k]-a[i])/(a[j]-a[i]))>eps) break;
                if (a[i].y!=a[j].y) {if (b[i].y<a[i].y||b[i].y>a[j].y) break;}
                else {if (b[i].x<a[i].x||b[i].x>a[j].x) break;}
            }
            if (k>m) return 0*printf("2");
        }
    memset(dis,62,sizeof(dis));
    for (i=1;i<=n;++i)
        for (j=1;j<=n;++j)
            if (i!=j&&check(a[i],a[j])) dis[i][j]=1;
    for (k=1;k<=n;++k)
        for (i=1;i<=n;++i)
            for (j=1;j<=n;++j)
                dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
    ans=dis[0][0];
    for (i=1;i<=n;++i) if (dis[i][i]>2) ans=min(ans,dis[i][i]);
    if (ans==dis[0][0]) return 0*printf("-1");
    printf("%d",ans);
}

 

Last Word

　　从计算几何转化为图论模型，这种题目还真是少见啊，转化这种东西没有一定的脑洞还真没法想出来。