BZOJ 1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

Posted 2020-10-10 czy020202

1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

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Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

题解

题目相当于给了n+1个形如(a1-x1)^2+(a2-x2)^2+...(an-xn)^2=r^2的二次方程，求解x。

我们发现两个方程相减后可以化成一次方程，所以用后面的方程分别于第一个方程相减，得到了n个一次方程，然后用高斯消元求解即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=15;
int n;
double b[N],a[N][N],x[N];
void gauss(){
	int mx;
	double t;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		mx=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(a[j][i]>a[mx][i])mx=j;
		}
		if(mx!=i){
			for(int j=i;j<=n+1;j++){
				swap(a[i][j],a[mx][j]);
			}
		}
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(a[j][i]==0)continue;
			t=a[i][i]/a[j][i];
			for(int k=i;k<=n+1;k++){
				a[j][k]=a[j][k]*t-a[i][k];
			}
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;i--){
		t=a[i][n+1];
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			t-=a[i][j]*x[j];
		}
		x[i]=t/a[i][i];
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
 	for(int i=1;i<=n;i++){
 		scanf("%lf",&b[i]);
	}
	double d;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%lf",&d);
			a[i][j]=2*(d-b[j]);
			a[i][n+1]+=(d*d)-(b[j]*b[j]);
		}
	}
	gauss();
	for(int i=1;i<n;i++)printf("%.3lf ",x[i]);
	printf("%.3lf\n",x[n]);
	return 0;
}