bzoj1822[JSOI2010]Frozen Nova 冷冻波 计算几何+二分+网络流最大流

Posted 2020-10-05 GXZlegend

题目描述

WJJ喜欢“魔兽争霸”这个游戏。在游戏中，巫妖是一种强大的英雄，它的技能Frozen Nova每次可以杀死一个小精灵。我们认为，巫妖和小精灵都可以看成是平面上的点。 当巫妖和小精灵之间的直线距离不超过R，且巫妖看到小精灵的视线没有被树木阻挡（也就是说，巫妖和小精灵的连线与任何树木都没有公共点）的话，巫妖就可以瞬间杀灭一个小精灵。 在森林里有N个巫妖，每个巫妖释放Frozen Nova之后，都需要等待一段时间，才能再次施放。不同的巫妖有不同的等待时间和施法范围，但相同的是，每次施放都可以杀死一个小精灵。 现在巫妖的头目想知道，若从0时刻开始计算，至少需要花费多少时间，可以杀死所有的小精灵？

输入

输入文件第一行包含三个整数N、M、K(N,M,K<=200)，分别代表巫妖的数量、小精灵的数量和树木的数量。 接下来N行，每行包含四个整数x, y, r, t，分别代表了每个巫妖的坐标、攻击范围和施法间隔（单位为秒）。 再接下来M行，每行两个整数x, y，分别代表了每个小精灵的坐标。 再接下来K行，每行三个整数x, y, r，分别代表了每个树木的坐标。 输入数据中所有坐标范围绝对值不超过10000，半径和施法间隔不超过20000。

输出

输出一行，为消灭所有小精灵的最短时间（以秒计算）。如果永远无法消灭所有的小精灵，则输出-1。

样例输入

2 3 1
-100 0 100 3
100 0 100 5
-100 -10
100 10
110 11
5 5 10

样例输出

5

---

题解

计算几何+二分+网络流最大流

首先要解决的是是否能够攻击到，如果两个点形成的线段与所有圆都没有公共点，那么就可以攻击到。

线段与圆有公共点，需要满足两个条件之一：(1)线段某端点在圆内 (2)直线与圆有公共点，且以线段和端点与圆心连线的夹角是锐角。

其中直线与圆有公共点可以使用点到直线距离公式：$\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$，夹角是锐角可以使用余弦定理的推论：如果$a^2<b^2+c^2$，那么$A$是锐角。

判断完以后就是经典的二分+最大流判断问题了：二分时间，S向巫妖连边，容量为mid时间攻击次数；巫妖向能够攻击到的小精灵连边，容量为1；小精灵向T连边，容量为1。如果满流则mid可行，否则不可行。

注意攻击次数的计算公式：$\lfloor\frac{mid}t\rfloor+1$，即开场是没有冷却的。（为这个问题纠结了半天= =）

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 410
#define M 200010
using namespace std;
typedef long long ll;
queue<int> q;
ll xn[N] , yn[N] , rn[N] , tn[N] , xm[N] , ym[N] , xk[N] , yk[N] , rk[N];
int n , m , k , v[N][N] , head[N] , to[M] , val[M] , next[M] , cnt , s , t , dis[N];
inline ll squ(ll x)
{
	return x * x;
}
bool connect(int a , int b)
{
	if(squ(xn[a] - xm[b]) + squ(yn[a] - ym[b]) > squ(rn[a])) return 0;
	int i;
	for(i = 1 ; i <= k ; i ++ )
		if(squ(xn[a] - xk[i]) + squ(yn[a] - yk[i]) <= squ(rk[i]) || squ(xm[b] - xk[i]) + squ(ym[b] - yk[i]) <= squ(rk[i]) || (
		   squ(yn[a] * (xk[i] - xm[b]) - ym[b] * (xk[i] - xn[a]) - yk[i] * (xn[a] - xm[b])) <= squ(rk[i]) * (squ(xn[a] - xm[b]) + squ(yn[a] - ym[b])) && 
		   squ(xn[a] - xm[b]) + squ(yn[a] - ym[b]) + squ(xn[a] - xk[i]) + squ(yn[a] - yk[i]) >= squ(xm[b] - xk[i]) + squ(ym[b] - yk[i]) && 
		   squ(xn[a] - xm[b]) + squ(yn[a] - ym[b]) + squ(xm[b] - xk[i]) + squ(ym[b] - yk[i]) >= squ(xn[a] - xk[i]) + squ(yn[a] - yk[i])))
			return 0;
	return 1;
}
void add(int x , int y , int z)
{
	to[++cnt] = y , val[cnt] = z , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
	to[++cnt] = x , val[cnt] = 0 , next[cnt] = head[y] , head[y] = cnt;
}
bool bfs()
{
	int x , i;
	memset(dis , 0 , sizeof(dis));
	while(!q.empty()) q.pop();
	dis[s] = 1 , q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		x = q.front() , q.pop();
		for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		{
			if(val[i] && !dis[to[i]])
			{
				dis[to[i]] = dis[x] + 1;
				if(to[i] == t) return 1;
				q.push(to[i]);
			}
		}
	}
	return 0;
}
int dinic(int x , int low)
{
	if(x == t) return low;
	int temp = low , i , k;
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
	{
		if(val[i] && dis[to[i]] == dis[x] + 1)
		{
			k = dinic(to[i] , min(temp , val[i]));
			if(!k) dis[to[i]] = 0;
			val[i] -= k , val[i ^ 1] += k;
			if(!(temp -= k)) break;
		}
	}
	return low - temp;
}
bool judge(int mid)
{
	int i , j , sum = 0;
	memset(head , 0 , sizeof(head)) , cnt = 1;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) add(s , i , mid / tn[i] + 1);
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) add(i + n , t , 1);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
			if(v[i][j])
				add(i , j + n , 1);
	while(bfs()) sum += dinic(s , 1 << 30);
	return sum == m;
}
int main()
{
	int i , j , l = 0 , r = 2000000 , mid , ans = -1;
	scanf("%d%d%d" , &n , &m , &k) , s = 0 , t = n + m + 1;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lld%lld%lld%lld" , &xn[i] , &yn[i] , &rn[i] , &tn[i]);
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%lld%lld" , &xm[i] , &ym[i]);
	for(i = 1 ; i <= k ; i ++ ) scanf("%lld%lld%lld" , &xk[i] , &yk[i] , &rk[i]);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
			v[i][j] = connect(i , j);
	while(l <= r)
	{
		mid = (l + r) >> 1;
		if(judge(mid)) ans = mid , r = mid - 1;
		else l = mid + 1;
	}
	printf("%d\n" , ans);
	return 0;
}