b样条曲线是在啥数学里讲的？

Posted 2023-03-09

我看这《数值分析》里只讲了样条曲线，告诉我书名就可以了，我想看下推导过程。

书名不清楚..不过在网上找到这个..不知道你用不用得上.

五、B样条曲线的矩阵表示
1）二阶B样条曲线
设空间P0 P1, …., Pn为n+1个控制点，节点矢量为 其中每相邻两个控制点之间可以构造出一段二阶B样条曲线。其中的第j=i-1段二阶B样条曲线Pj(t)的矩阵表示为：
；
其中， 。
　　对于二阶均匀B样条曲线，其矩阵表示与非均匀B样条曲线的相同：
　　　。

2）三阶B样条曲线
给定节点矢量为 ，n+1个控制点为P0，P1, …., Pn。其中每相邻三个点可构造出一段二次的B样条曲线。其中的第j（=i-2）段三阶B样条曲线Pj(u)的矩阵表示为：
；
其中，
。
对于三阶均匀B样条曲线，其矩阵表示为
。

三阶均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和二阶导数矢量分别为：

Pi,3(0)=(Pi+Pi＋1)/2，
Pi,3(1)=(Pi＋1+Pi+2)/2；
P'i,3(0)= Pi＋1-Pi，
P'i,3(1)=Pi+2-Pi＋1，
P'i,3(1)=P'i+1,3(0)；
P''i,3(t)=Pi-2Pi＋1+Pi+2 ,

三阶均匀B样条曲线的首末点通过相应边的中点；首末点的切矢方向与相应边重合；二阶导数矢量等于该曲线的两条边矢量Pi＋1-Pi 和Pi+2-Pi＋1所构成的对角线矢量。
三阶均匀B样条曲线段为抛物线，两相邻曲线段之间为一阶连续。
3）四阶B样条曲线
设节点矢量为 ，控制点为P0 P1, …., Pn，其中每相邻四个点可构造出一段三次的B样条曲线。其中的第j(=i-3)段三次B样条曲线Pi(u)的矩阵表示为：
;。
其中，
,
　　m3,2 =-m2,2/3- m3,3-(ti+1-ti)2/[( ti+2-ti)(ti+2-ti-1)],mr,j是第r行第j列的元素。
第j(=i-3)段三次均匀B样条曲线Pj(t)的矩阵表示：
。
三次均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和二阶导矢量分别为：
Pi,4(0)=（Pi+4Pi＋1+Pi+2）/6，
Pi,4(1)=（Pi＋1+4Pi+2+Pi+3）/6；
P'i,4(0)=（Pi+2-Pi ）/2，
P'i,4(1)= （Pi+3-Pi＋1 ）/2，
P'i,3(1)= P'i+1,3(0)；
P''i,4(0)= Pi-2Pi＋1+ Pi+2，
P'i,4(1)= Pi＋1-2Pi+2+ Pi+3。
三次均匀B样条曲线段的起点位于以Pj+1Pj和Pj+1Pj+2为邻边的平行四边形的对角线的1/6处；起点的切矢量与PjPj+2平行，切矢量的长度 ；曲线段起点的二阶导数矢量等于以Pj+1Pj和Pj+1Pj+2为邻边所构成的平行四边形的对角线矢量。
4）k阶B样条曲线
设节点矢量为 ，控制点为P0，P1, …., Pn，其中每相邻k个控制点可构造出一段k阶B样条曲线。其中的第j(=i-k＋1)段曲线Pi-k+1(u)的矩阵表示为：
（6－4－4）
;
;

其中，Mk(i)称为k阶B样条基矩阵，它由下列递归公式计算：
（6－4－5）

如果 ，i＝0，1，…，n+k-1，则由（6－4－4）式所定义的曲线Pi-k+1(u) （i=k-1, k,…,n）为均匀B样条曲线，这时，k阶B样条基矩阵Mk(i)与i无关，简记为Mk：

上式也可以显式地表示为：

其中，
。

这里面也有一个.
http://baby66.bokee.com/3678017.html
希望给对你有所帮助.

参考资料：http://comic.sjtu.edu.cn/thucs/GD_jsj_027y/text/chapter6/section4/part01/l5.htm

参考技术A 在《计算机图形学》里讲的，希望能帮到你