BZOJ 1016: [JSOI2008]最小生成树计数

Posted 2020-10-02 谦谦君子，陌上其华

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1016

题意：

 

思路：

一个无向图所有的最小生成树中某种权值的边的数目均相同。

引用一篇大牛的证明：

我们证明以下定理：一个无向图所有的最小生成树中某种权值的边的数目均相同。

开始时，每个点单独构成一个集合。

首先只考虑权值最小的边，将它们全部添加进图中，并去掉环，由于是全部尝试添加，那么只要是用这种权值的边能够连通的点，最终就一定能在一个集合中。

那么不管添加的是哪些边，最终形成的集合数都是一定的，且集合的划分情况一定相同。那么真正添加的边数也是相同的。因为每添加一条边集合的数目便减少1.

那么权值第二小的边呢？我们将之间得到的集合每个集合都缩为一个点，那么权值第二小的边就变成了当前权值最小的边，也有上述的结论。

因此每个阶段，添加的边数都是相同的。我们以权值划分阶段，那么也就意味着某种权值的边的数目是完全相同的。

 

所以先用克鲁斯卡尔算法计算一遍最小生成树，统计每一权值的边组需要加几条边，最后暴搜，乘法原理相乘即可。注意，要判断无法连通的情况。

 

  1 #include<iostream>
  2 #include<algorithm>
  3 #include<cstring>
  4 #include<cstdio>
  5 #include<sstream>
  6 #include<vector>
  7 #include<stack>
  8 #include<queue>
  9 #include<cmath>
 10 #include<map>
 11 #include<set>
 12 using namespace std;
 13 typedef long long ll;
 14 typedef pair<int,ll> pll;
 15 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 16 const int maxn=10000+5;
 17 const int mod=31011;
 18 
 19 struct node
 20 {
 21     int u,v,w;
 22 }e[10*maxn];
 23 
 24 struct node2
 25 {
 26     int l,r;
 27     int c;
 28 }a[maxn];
 29 
 30 int n, m;
 31 int sum;
 32 int cnt,tot;
 33 int p[maxn];
 34 
 35 bool cmp(node a, node b)
 36 {
 37     return a.w<b.w;
 38 }
 39 
 40 int find(int x)
 41 {
 42     return x==p[x]?x:find(p[x]);
 43 }
 44 
 45 void dfs(int cur, int num ,int pos)
 46 {
 47     if(pos>a[cur].r)
 48     {
 49         if(num==a[cur].c) sum++;
 50         return;
 51     }
 52     int x=find(e[pos].u);
 53     int y=find(e[pos].v);
 54     if(x!=y)
 55     {
 56         p[x]=y;
 57         dfs(cur,num+1,pos+1);
 58         p[x]=x;
 59     }
 60     dfs(cur,num,pos+1);
 61 }
 62 
 63 int main()
 64 {
 65     //freopen("in.txt","r",stdin);
 66     while(~scanf("%d%d",&n,&m))
 67     {
 68         for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
 69         for(int i=1;i<=m;i++)
 70             scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
 71 
 72         sort(e+1,e+m+1,cmp);
 73         cnt=0; tot=0;
 74         for(int i=1;i<=m;i++)
 75         {
 76             if(e[i].w!=e[i-1].w)
 77             {
 78                 a[++cnt].l=i;
 79                 a[cnt-1].r=i-1;
 80                 a[cnt].c=0;
 81             }
 82             int x=find(e[i].u);
 83             int y=find(e[i].v);
 84             if(x!=y)
 85             {
 86                 p[x]=y;
 87                 a[cnt].c++;
 88                 tot++;
 89             }
 90         }
 91         a[cnt].r=m;
 92         
 93         if(tot!=n-1)  //连不起来的情况
 94         {
 95             printf("0\\n");
 96             continue;
 97         }
 98         
 99 
100         for(int i=1;i<=n;i++)   p[i]=i;
101         int ans=1;
102         for(int i=1;i<=cnt;i++)
103         {
104             sum=0;
105             dfs(i,0,a[i].l);
106             ans=(ans*sum)%mod;
107             for(int j=a[i].l;j<=a[i].r;j++)
108             {
109                 int x=find(e[j].u);
110                 int y=find(e[j].v);
111                 if(x!=y) p[x]=y;
112             }
113         }
114         printf("%d\\n",ans);
115     }
116     return 0;
117 }