深度学习被你忽略的细节系列篇——SoftmaxLogSumExp和Sigmoid

Posted 2023-03-08 AI蜗牛之家

平时我们基本用pytorch或者tensorflow框架时，基本对特别底层的函数实现关注不多，仅限于知道公式的原理。但是很多大佬往往自己会实现一些源码(比如ListNet复现)，在看这些源码时，经常出现各种有点难以理解的代码，本来很简单的东西，莫名其妙的各种转换，化简完之后可能感觉是一样的，这么费劲周折的折腾啥？殊不知还是对底层的实现原理了解少了，虽然有些源码不需要我们从底层造轮子(完全从底层造轮子也影响效率)，但是能理解其原理在我们debug以及看一些源码时不至于太多疑惑(毕竟国外很多大佬都喜欢实现一些底层utils)。

今天我们来重新认识一下我们经常用的Softmax、LogSumExp和Sigmoid

1. 背景概要

我们知道编程语言中的数值都有一个表示范围的，如果数值过大，超过最大的范围，就是上溢；如果过小，超过最小的范围，就是下溢。
今天要讨论的Softmax、LogSumExp和Sigmoid，就面临着上述溢出的问题，下面的一些梳理也主要用来解决计算Softmax或CrossEntropy时出现的上溢(overflow)或下溢(underflow)问题。

2. Softmax

在机器学习中，计算概率输出基本都需要经过Softmax函数，它的公式应该很熟悉了吧
$$\text{Softmax}(x_i)=\frac{\exp (x_i)}{{\sum }_{j=1}^n\exp (x_j)}\text{\hspace{1em}(1)}$$
但是Softmax存在上溢和下溢大问题。如果$x_i$太大，对应的指数函数也非常大，此时很容易就溢出，得到nan结果；如果$x_i$太小，或者说负的太多，就会导致出现下溢而变成0，如果分母变成0，就会出现除0的结果。
此时我们经常看到一个常见的做法是(其实用到的是指数归一化技巧, exp-normalize)，先计算x中的最大值$b={\max }_{i=1}^n{x}_i$，然后根据
$$\begin{array}{rl}\text{Softmax}(x_i)& =\frac{\exp (x_i)}{{\sum }_{j=1}^n\exp (x_j)}\\ & =\frac{\exp (x_i-b)\cdot \exp (b)}{{\sum }_{j=1}^n\left(\exp (x_j-b)\cdot \exp (b)\right)}\\ & =\frac{\exp (x_i-b)\cdot \exp (b)}{\exp (b)\cdot {\sum }_{j=1}^n\exp (x_j-b)}\\ & =\frac{\exp (x_i-b)}{{\sum }_{j=1}^n\exp (x_j-b)}\\ & =\text{Softmax}(x_i-b)\end{array}$$
这种转换是等价的，经过这一变换，就避免了上溢，最大值变成了$\exp (0)=1$；同时分母中也会有一个1，就避免了下溢。
我们通过实例来理解一下。

def bad_softmax(x):
  y = np.exp(x)
  return y / y.sum()
 
x = np.array([1, -10, 1000])
print(bad_softmax(x)) 

#运行结果
#... RuntimeWarning: overflow encountered in exp
#... RuntimeWarning: invalid value encountered in true_divide
#array([ 0.,  0., nan])

接下来进行上面的优化，并进行测试：

def softmax(x):
  b = x.max()
  y = np.exp(x - b)
  return y / y.sum()
 
print(softmax(x))
# array([0., 0., 1.])
x = np.array([-800, -1000, -1000])
print(bad_softmax(x))
# array([nan, nan, nan])
print(softmax(x))
# array([1.00000000e+00, 3.72007598e-44, 3.72007598e-44])

关于softmax的另外实现，参加下文。

3. LogSumExp

什么是LSE?
LSE被定义为参数指数之和的对数：
$$\text{LSE}(x_1,\cdots ,x_n)=\log \sum _{i=1}^n\exp (x_i)=\log \left(\exp (x_1)+\cdots +\exp (x_n)\right)$$
输入可以看成是一个n维的向量，输出是一个标量。

什么场景下要到LogSumExp呢？
交叉熵loss大家肯定不陌生，其中就有一项是log$p$，比如多分类场景里面就需要在对softmax的结果做对数处理：
$$\begin{array}{rl}\log \left(\text{Softmax}(x_i)\right)& =\log \frac{\exp (x_i)}{{\sum }_{j=1}^n\exp (x_j)}\\ & =x_i-\log \sum _{j=1}^n\exp (\end{array}$$