算法导论贪心算法—排队等待问题单位时间的调度问题0-1背包贪心近似多机调度问题

Posted 2023-03-05 之墨_

算法导论【贪心算法】—排队等待问题、单位时间的调度问题、多机调度问题

• 排队等待问题
• 单位时间的调度问题
• 0-1背包贪心近似
• 多机调度问题

排队等待问题

在一个超市，有 N 个人排队到一个柜台付款，已知每个人需要处理的时间为Ti（0<i≤N），请你找一种排列次序，使每个人排队的时间总和最小。

• 本题的贪心算法为：N 个数据从小到大排序，就是这 N 个人的最佳排序方案。

• 每次选择一个处理时间最小的人排队，选择后只剩一个子问题：为剩余的人找一个排队次序，使每个人排队时间总和最小，此问题存在一个最优解，即贪心选择是安全的。假设有最优解序列$S1,S2,S3\dots .,Sn$，如果 $S1$ 不是最小的 $Tmin$，不妨设$Sk=Tmin$，将 $S1$ 与 $Sk$ 对调。显然对 $Sk$ 之后的人没影响，对 $Sk$ 之前的人等待时间都减少了$(S1-Sk)>0$。从而新的序列比原最优解序列好，矛盾！故贪心选择可以得到最优解。

单位时间的调度问题

现有一个机器要处理$n$项任务，每项任务都可以在一个单位时间内完成。每项任务有截止时间$(d1,d2,,\dots ,dn)$和超过截止时间内未完成的惩罚因子$(w1,w2,,\dots ,wn)$，求所有任务排列中最小的惩罚因子和。例如若有$3$项任务，其截止时间为$(2,2,2)$，惩罚因子为$(6,7,8)$。排列$123,132,213,231,312,321$的惩罚因子和为分别是$8,7,8,6,7,6$。则6是所有任务排列中惩罚因子最小和为$6$。

• 贪心解法：先将任务按照惩罚大小降序排列，每个任务都在最接近$ddl$的时间完成，优先完成惩罚较大的任务，再对后面的任务$x$找它的$x.ddl$时间内是否有空闲时间可以完成这个任务，如果找不到说明这个任务无法完成，就把这个任务的惩罚$x.p$加入$ans$，最后遍历完所有任务的$ans$就是答案。
• 每次完成惩罚较大的任务，只剩一个子问题：如何选择后续任务的完成次序使总惩罚最小，此问题总存在一个最优解，故贪心选择是安全的。假设不在最接近截止时间的时间处优先完成惩罚较大的任务，而是先完成其他任务，则当完成其他任务后，这个惩罚较大的任务显然无法完成，则此时受到的惩罚必然大于等于原解法，即此最优解不会超过原最优解，故贪心选择可以得到一个最优解。

0-1背包贪心近似

给定一组n个物品，每个物品的利润为$pi$，大小为$si$，一个背包的大小为$B（B>si）$。解：受约束${\sum }_{i\in S}si\le B$的项$S\subseteq [n]$的子集。要令所选子集的总利润最大，${\sum }_{i\in S}pi$。

• 贪心解法：按照$\frac{Pi}{Si}$的非递增顺序对项目进行排序。贪婪地按上述顺序挑选物品，直到碰到一个物品ai，它的大小太大了背包无法放下，此时判断一下｛a1，a2，…，ai−1｝的总利润和ai的利润谁更大，选择其中较大的。
• 贪心近似算法解决背包问题是2−近似的，即结果可能是最优解的1/2

多机调度问题

设有n个独立的作业1, 2, …, n，由m台相同的机器M1, M2, …, Mm进行加工处理，作业i所需的处理时间为ti（1≤i≤n），每个作业均可在任何一台机器上加工处理，但不可间断、拆分。多机调度问题要求给出一种作业调度方案，使所给的n个作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处理完成。

• 当 n <= m 时，只要将机器Mi 分配给作业 i 即可
• 当 n > m 时，一种比较好的贪心策略是：将作业从大到小排序，按此顺序将作业分配给空闲机器
• 如果不优先执行较长的作业，那么可能出现短作业都执行完，只剩长作业在某台机器上运行，此时的机器利用率也较低，即这种解法不会超过贪心选择的解法，即贪心选择可以得到最优解