三维量子力学 量子力学
Posted myjs999
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了三维量子力学 量子力学相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
动量 p p p有三个分量，为 p x p_x px等。它们分别满足与位置坐标的对易关系，比如 p x = − i ℏ ∂ ∂ x p_x=-i\\hbar\\frac\\partial \\partial x px=−iℏ∂x∂。可以用位置坐标梯度算符表示即 p = − i ℏ ∇ \\bmp=-i\\hbar\\nabla p=−iℏ∇。位置矢量用 r \\bmr r表示。
在 d 3 r d^3\\bmr d3r（我喜欢写作 d V dV dV）区域发现它的概率是 ∣ Ψ ( r , t ) ∣ 2 d V |\\Psi(\\bmr,t)|^2dV ∣Ψ(r,t)∣2dV。那么归一化条件是 ∫ ∣ Ψ ∣ 2 d V = 1 \\int |\\Psi|^2dV=1 ∫∣Ψ∣2dV=1。
如果势能与时间无关，那么可以确定一组完备的定态 Ψ n ( r , t ) = ψ n ( r ) e − i E n t / ℏ \\Psi_n(\\bmr,t)=\\psi_n(\\bmr)e^-iE_nt/\\hbar Ψn(r,t)=ψn(r)e−iEnt/ℏ， n = 1 , 2 , … n=1,2,\\dots n=1,2,…。
基本量对易性
x x x和 y y y显然可以对易，这是常识。
根据动量位置算符关系可以算出 p x p_x px和 p y p_y py也对易（对 x x x和 y y y的求导顺序不影响）。
不同维度的坐标和动量，例如 x x x和 p y p_y py，对易。
Ehrenfest定理
根据黄金期变公式，与坐标、动量、时间有关的量 Q Q Q满足 d ⟨ Q ⟩ d t = i ℏ ⟨ [ H ^ , Q ^ ] ⟩ + ⟨ ∂ Q ∂ t ⟩ \\fracd\\lang Q\\rangdt=\\fraci\\hbar\\braket [\\hat H,\\hat Q]+\\left\\lang \\frac\\partial Q\\partial t\\right\\rang dtd⟨Q⟩=ℏi⟨[H^,Q^]⟩+⟨∂t∂Q⟩
第二项在求的时候是0。用上述公式就可以得出Ehrenfest定理。 d ⟨ r ⟩ d t = ⟨ p ⟩ m \\fracd\\braket \\bmrdt=\\frac\\braket\\bmpm dtd⟨r⟩=m⟨p⟩ d ⟨ p ⟩ d t = ⟨ − ∇ V ⟩ \\fracd\\braket\\bmpdt=\\braket-\\nabla V dtd⟨p⟩=⟨−∇V⟩
球坐标波函数
因为没时间了所以之后会写得简略。
波函数由三个球坐标决定。可以分成半径部分和两个角的部分。 ψ = R Y \\psi=RY ψ=RY。
球坐标nabla算子： ( 1 / r 2 ) ( r 2 ? P r ) P r + ( 1 / r 2 sin θ ) ( sin θ ? P θ ) P θ + ( 1 / r 2 sin 2 θ ) ? P 2 ϕ (1/r^2)(r^2?_Pr)_Pr+(1/r^2\\sin \\theta)(\\sin\\theta?_P\\theta)_P\\theta+(1/r^2\\sin^2\\theta)?_P^2\\phi (1/r2)(r2?Pr)Pr+(1/r2sinθ)(sinθ?Pθ)Pθ+(1/r2sin2θ)?P2ϕ。
把球坐标nabla算子放进薛定谔方程就可以得到球坐标薛定谔方程。然后代入上述的分成两个部分。
然后两边乘上一个因子就可以把径向部分和角部分分开。径向部分只与 R , r R,r R,r有关，令其等于 l ( l + 1 ) l(l+1) l(l+1)；角部分只与 Y , θ , ϕ Y,\\theta,\\phi Y,θ,ϕ有关，令其等于 − l ( l + 1 ) -l(l+1) −l(l+1)。
不同基态组合得到同一个状态称为这个状态的简并度(degeneracy)。
Y Y Y可以进一步对两个角分别分成 Y = Θ Φ Y=\\Theta\\Phi Y=ΘΦ。代入方程，同样是乘上一个因子，分成极角部分和方位角部分。令极角部分等于 m 2 m^2 m2，方位角部分等于 − m 2 -m^2 −m2。
方位角的方程很好解，可以记为 Φ = e i m ϕ \\Phi=e^im\\phi Φ=eimϕ。由于 ϕ \\phi ϕ增减 2 π 2\\pi 2π其实是一样的，也就是 Φ ( ϕ ) = Φ ( ϕ + 2 π ) \\Phi(\\phi)=\\Phi(\\phi+2\\pi) Φ(ϕ)=Φ(ϕ+2π)。这个条件要求 m m m必须是整数。
极角的方程很难解。首先是 Θ = A P l m ( cos θ ) \\Theta=AP_l^m(\\cos \\theta) Θ=APlm(cosθ)。这里的 P l m P_l^m Plm是Associated Legendre Function。定义是什么的一个 m / 2 m/2 m/2次方乘上 P l ( x ) P_l(x) Pl(x)对 x x x求 ∣ m ∣ |m| ∣m∣次导。其中 P l P_l Pl是勒让德多项式。 P l P_l Pl是一个 l l l次的多项式，奇偶性与 l l l的奇偶性相同，并且在 1 1 1处总是取 1 1 1。
显然，由于 P l P_l Pl是 l l l次的，ALP又要求 ∣ m ∣ |m| 量子计算（二十）：量子算法简介