leetcode 2439. 最小化数组中的最大值

Posted 2023-02-15 想名真难

给你一个下标从 0 开始的数组 nums ，它含有 n 个非负整数。

每一步操作中，你需要：

• 选择一个满足 1 <= i < n 的整数 i ，且 nums[i] > 0 。
• 将 nums[i] 减 1 。
• 将 nums[i - 1] 加 1 。

你可以对数组执行 任意 次上述操作，请你返回可以得到的 nums 数组中 最大值 最小 为多少。

示例 1：

输入：nums = [3,7,1,6]
输出：5
解释：
一串最优操作是：
1. 选择 i = 1 ，nums 变为 [4,6,1,6] 。
2. 选择 i = 3 ，nums 变为 [4,6,2,5] 。
3. 选择 i = 1 ，nums 变为 [5,5,2,5] 。
nums 中最大值为 5 。无法得到比 5 更小的最大值。
所以我们返回 5 。

示例 2：

输入：nums = [10,1]
输出：10
解释：
最优解是不改动 nums ，10 是最大值，所以返回 10 。

2439. 最小化数组中的最大值

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说实话，没这个例子，我都不知道题干在说什么，😂😂😂

第一个眼看，没什么思路，那就先用题目的要求进行模拟。

按照题目要求，2个相邻的数字经过若干次计算之后，肯定满足 num[i-1] >= num[i]，

• 如果2个数字的和为偶数， num[i-1] = num[i] = 平均数
• 如果2个数字的和是奇数的话，num[i-1] 肯定是较大的那个
  • 比如2个数字为1和8，和为9，平均数为(1 + 8) / 2  = 4，剩下的较大的数字为5，将平均数赋值给num[i]，剩下较大的数组赋值给num[i-1],

搞定了一次循环之后，不一定完成了最大值的调整，上面的一轮遍历，只是保证了相近的2个数字满足了条件，不能保证经过调整后所有的数字都满足条件。

• 比如[1,5,10], 经过上面的一轮模拟，变成了[3,3,10] -> [3,7,6]，7还有调整的空间
• 在经过一轮遍历，由[3,7,6] -> [5,5,6], -> [5,6,5],
• 此时虽然肉眼已经知道了结果，但是不满足所有的数字都满足num[i-1] >= num[i]，在经过一轮遍历，变成 [6,5,5]， 此时才能让所有的数字都满足num[i-1] >= num[i]，才是外层循环的真正结束条件。

经过上面的模拟，目前知道需要经过2层循环，内部循环是保证相邻的2个数字满足num[i-1] >= num[i]，外层循环保证所有的数字都满足num[i-1] >= num[i]。

在写的过程中，感觉算法非常像冒泡排序算法，冒泡只是单纯的交换相邻值，而此算法在交换相邻值的同时，计算了平均值并进行赋值。

算法需要内外2层循环，O(n^2)的时间复杂度，放上去果然出现超时，不过计算结果是没问题的。

class Solution 
    func minimizeArrayValue(_ nums: [Int]) -> Int 

        var tempNums = nums
        var maxValue = 0
        var hasChange = false

        // 按照题目要求模拟,后一个数字大于前一个数字,就计算2者的平均值,较大值给i-1,较小值给i
        // 最差情况是对连续递增的数组,需要循环O(n^2),有点冒泡算法的感觉,每次循环都把较大值往前冒泡一次,执行到最后,最大值就在数组的第一个
        // 比如[1,2,3,4],按照此算法进行模拟,
        // 第一次循环, [2,1,3,4],[2,2,2,4],[2,2,3,3]
        // 第二次循环, [2,3,2,3],[2,3,3,2]
        // 第三次循环, [3,2,3,2],[3,3,2,2]
        repeat 

            hasChange = false
            for (i,value) in tempNums.enumerated() 
                if i>0 
                    let preValue = tempNums[i-1]
                    if value > preValue 
                        // midValue 相当于是向下取整了, 比如 (1 + 8) / 2 = 4, 另一个较大的数组通过减法算出
                        // 较小值给到i, 较大值给到i-1, 一步一步把最大值冒泡到数组第一个位置
                        let midValue = (value + preValue)/2
                        tempNums[i-1] = value + preValue - midValue
                        tempNums[i] = midValue
                        hasChange = true
                    
                
            
         while hasChange == true

        maxValue =  tempNums.first!
        return maxValue
    

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既然我们没有思路，那就看看其他人的。

进阶思路1，二分查找：

给你一个数组，对于1 <= i < len(nums)的i可以有以下操作

• 将nums[i]--，nums[i-1]++
• nums[i] > 0

对于这个条件，我们应该得到这样的理解：

• 前方的较小数可以接受后方较大数多余的数字

可能这句话有些晦涩难懂，下面举一个例子具体分析

设nums = [2,3,7,1,6]

由对前三个数进行操作，则我们可以得到的最小最大值为4

怎么做到的捏？我们来一步步走

[2,3,7]

[3,2,7]

[4,1,7]

[4,2,6]

[4,3,5]

[4,4,4]

一步步下来，我们发现，前方的较小的2和3承接了来自后方的7中的数，最终使得整个数组都整体变小了

2承载了最终答案4中的，来自于7中的两个1

3承载了最终答案4中的，来自于7中的一个1

由此我们可以由局部推广到整体，我们只需要检查数组在小数承载大数的基础上，是否可以全部都不大于k.

那么要检查的数从哪里来？

以下2种都可以

• 思路1，按照题目要求，从0到 10^9，开始二分查找。
• 思路2，遍历一次数组，从数组的最小值到数组中的最大值开始二分。

class Solution 

    /// 检查数字k能否满足承载需求
    /// - Parameters:
    ///   - nums: 原始数组
    ///   - k: 本次检查的k值
    /// - Returns:
    /// true: 数组遍历完成,并且数组内的值可以承载,表示k是最大值中的一个,但不一定是最小的最大值;
    /// false: 数组内已经发现比k更大的值,后续遍历无意义
    func check(_ nums: [Int], k: Int) -> Bool 
        //前方的数字还可以帮我们后方的大数承载多少数字
        var extra = 0
        for value in nums 
            if (value <= k)  //当前值小于目标值,可以接受 k-value的承载
                extra += k - value
             else 
                //当前值大于目标值,承载量 减去对应的差值 value-k
                extra -= value - k
                if extra < 0  // extra < 0,表示到第i个位置的最大值已经>k,后续已经无需再比对了
                    return false
                
            
        
        return true

    

    func minimizeArrayValue(_ nums: [Int]) -> Int 

        var left = 0
        var right = 10 * 10000 * 10000

        // 二分答案，二分范围从0-10^9中寻找答案,
        // mid是本次查找预设的一个答案,检验这个答案是否满足要求
        // 如果满足check条件,说明可以继续向下查找,缩小右边界
        // 如果不满足check条件,把左边界加1,
        // 最终左右边界相等时,一定是左边界-1是不满足check条件,左边界及右侧都满足check条件
        while left < right 
            let mid = left + (right - left) / 2
            let canExtra = check(nums, k: mid)
            if canExtra 
                right = mid
             else 
                left = mid + 1
            
        
        return left
    

 时间复杂度是O(N*logN)，空间复杂度为O(1),

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进阶思路2，分类讨论：

削峰填谷，整体考虑，遇到第i个时，把第i个当成最后一个，把前i-1个都当成一个数字进行处理。计算前i个数字的平均值向上取整，此时相当于把前i个的山峰削减完成，前i个的最大值就是平均值向上取整与之前最大值的比较结果，然后继续第i+1个。

从 nums[0] 开始讨论：

• 如果数组中有 nums[0]，那么最大值为 nums[0]。
• 再考虑 nums[1]，
  • 如果 nums[0]>=nums[1]，num[1]是山谷，最大值还是 nums[0]，不用处理
  • 如果 nums[0]<nums[1]，说明num[1]是一个山峰，则应该平均这两个数，平均后的最大值向上取整，即(nums[0]+num[1])/2向上取整，与之前的山峰进行比对更新
• 再考虑 nums[2]，
  • 如果前面算出的最大值 >= nums[2] ，num[2]就是一个山谷，最大值不变，不用处理；
  • 如果前面算出的最大值 < nums[2] ,说明num[1]是一个山峰，那么需要平均这三个数向上取整，与之前的山峰进行对比更新。
• .....
• 对于任意一个num[i], 
  • 如果前面算出的最大值 >= nums[i] ，num[i]就是一个山谷，最大值不变，不用处理；
  • 如果前面算出的最大值 < nums[i] ,说明num[i]是一个山峰，那么需要平均前i个数字向上取整，与之前的山峰进行对比更新。

以此类推直到最后一个数。
过程中的最大值为答案。

为什么要向上取整？

因为数组内的总和是不变的，并且都为整型，直接使用平均值计算出来的为浮点型，向上取整计算出来的才是平均后的最大值。

为什么计算出前i个数字平均值向上取整后还需要和之前的山峰进行对比？

因为前一个山峰可能是第3个值，后续的第4-10都是山谷，到第11时才又遇到山峰，此时计算出的前11个平均值可能小于第3个值。

怎么向上取整？

正常思路，计算好平均数，使用ceil函数取整

let avg = Double(sum)/Double(i+1)

result = max(result, Int(ceil(avg)))

牛B思路，先对sum+i，在计算除法，计算结果必定是向上取整的。

(sum+i)/(i+1)

为什么是除以i+1？

因为下表是i，从0开始计数，共有i+1个数字

class Solution 
    func minimizeArrayValue(_ nums: [Int]) -> Int 

        var sum = 0
        var result = nums.first!
        for (i,value) in nums.enumerated() 
            sum += value

            if result < value 
                // 正常取整
//                let avg = Double(sum)/Double(i+1)
//                result = max(result, Int(ceil(avg)))
                // 牛B取整
                result = max(result, (sum+i)/(i+1))
            
        
        return result
    

果然好的思路代码也简洁，只需要一次遍历， 时间复杂度为O(n), 空间复杂度为O(1).

总结来看， 分类讨论的这种算法效率最高，代码最简洁。

路漫漫其修远兮，吾将上下求索。