BZOJ1013 [JSOI2008] 球形空间产生器sphere

Posted 2020-09-22 _rqy

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

题解

这题。。。竟然不忽略行尾空格。。。可恶。。。

言归正传，既然要到各距离相等，且有$n$个未知数，那么我们就要列$n$个方程。

设球心$O: (x, y, ..., w)$，$n+1$个点$P_i : (x_i, y_i, ..., w_i)$，

我们选择$dis(O, P_0) = dis(O, P_i) (0 < i \leq n)$这$n$个方程，即

$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + ... + (w - w_0)^2 = (x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 + ... + (w - w_i)^2$$

二项式展开，移项，合并同类项，得：

$$2(x_i - x_0)x + 2(y_i - y_0)y + ... + 2(w_i - w_0)w = x_i^2 - x_0^2 + y_i^2 - y_0^2 + ... + w_i^2 - w_0^2$$

高斯消元即可。

附代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
const int N = 15;
double A[N][N];
void gauss(int n) {
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    int k = i;
    for (int j = i + 1; j < n; ++j) 
      if (A[j][i] > A[k][i])
        k = j;
    for (int j = i; j <= n; ++j)
      std::swap(A[i][j], A[k][j]);
    for (k = i + 1; k < n; ++k)
      for (int j = n; j >= i; --j)
        A[k][j] -= A[i][j] * A[k][i] / A[i][i];
  }
  for (int i = n - 1; ~i; --i) {
    A[i][n] /= A[i][i];
    for (int j = i - 1; ~j; --j)
      A[j][n] -= A[i][n] * A[j][i];
  }
}
double P0[N];
int main() {
  int n;
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 0; i < n; ++i)
    scanf("%lf", &P0[i]);
  double x;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    A[i][n] = .0;
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      scanf("%lf", &x);
      A[i][j] = 2 * (x - P0[j]);
      A[i][n] += x * x - P0[j] * P0[j];
    }
  }
  gauss(n);
  printf("%.3lf", A[0][n]);
  for (int i = 1; i < n; ++i)
    printf(" %.3lf", A[i][n]);
  printf("\n");
  return 0;
}