潜在结果框架(Potential outcomes)与工具变量(Instrumental variable)介绍
Posted Jie Qiao
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了潜在结果框架(Potential outcomes)与工具变量(Instrumental variable)介绍相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
Potential outcomes framework
什么是potential outcome呢？考虑在医学中，X=0表示不吃药，X=1表示吃药，那么很显然，一个人是没有办法同时吃药与不吃药的，所以我们只能够观测到其中的一个结果，即 Y ( 0 ) \\displaystyle Y( 0) Y(0)或 Y ( 1 ) \\displaystyle Y( 1) Y(1)，而X只是用于选择观测的结果。
然而每个人对于吃药的结果是有可能不同的，比如有的人不管吃不吃都没法变好，有的人吃了就能恢复了，有的人吃了反而更难受了，还有的不管吃不吃都能恢复，对应着以下四类。
可记为
P ( Y ( 0 ) = 0 , Y ( 1 ) = 0 ) = P ( N R ) P ( Y ( 0 ) = 0 , Y ( 1 ) = 1 ) = P ( H E ) P ( Y ( 0 ) = 1 , Y ( 1 ) = 0 ) = P ( H U ) P ( Y ( 0 ) = 1 , Y ( 1 ) = 1 ) = P ( A R ) P( Y( 0) =0,Y( 1) =0) =P( NR)\\\\ P( Y( 0) =0,Y( 1) =1) =P( HE)\\\\ P( Y( 0) =1,Y( 1) =0) =P( HU)\\\\ P( Y( 0) =1,Y( 1) =1) =P( AR) P(Y(0)=0,Y(1)=0)=P(NR)P(Y(0)=0,Y(1)=1)=P(HE)P(Y(0)=1,Y(1)=0)=P(HU)P(Y(0)=1,Y(1)=1)=P(AR)
基于上面的各种情况，我们用Average Causal Effect(ACE)计算的因果效应将是：
A C E ( X → Y ) ≡ E [ Y ( 1 ) − Y ( 0 ) ] = 0 ∗ P ( N R ) + 1 ∗ P ( H E ) + 0 ∗ P ( H U ) + 1 ∗ P ( A R ) − ( 0 ∗ P ( N R ) + 0 ∗ P ( H E ) + 1 ∗ P ( H U ) + 1 ∗ P ( A R ) ) = P ( H E ) + P ( A R ) − P ( H U ) − P ( A R ) = P ( H E ) − P ( H U ) ∈ [ − 1 , 1 ] \\beginaligned ACE\\left( X\\rightarrow Y\\right) & \\equiv E[ Y( 1) -Y( 0)]\\\\ & =0*P( NR) +1*P( HE) +0*P( HU) +1*P( AR)\\\\ & -( 0*P( NR) +0*P( HE) +1*P( HU) +1*P( AR))\\\\ & =P( HE) +P( AR) -P( HU) -P( AR)\\\\ & =P( HE) -P( HU) \\in [ -1,1] \\endaligned ACE(X→Y)≡E[Y(1)−Y(0)]=0∗P(NR)+1∗P(HE)+0∗P(HU)+1∗P(AR)−(0∗P(NR)+0∗P(HE)+1∗P(HU)+1∗P(AR))=P(HE)+P(AR)−P(HU)−P(AR)=P(HE)−P(HU)∈[−1,1]
从随机试验估计ACE
那么ACE能不能从样本总估计呢？当满足ignorebility的时候就可以：
X ⊥ Y ( 0 ) , X ⊥ Y ( 1 ) X\\bot Y( 0) ,\\ X\\bot Y( 1) X⊥Y(0), X⊥Y(1)
于是
P ( Y ( 0 ) = y ) = P ( Y ( 0 ) = y ∣ X = 0 ) = P ( Y = y ∣ X = 0 ) P ( Y ( 1 ) = y ) = P ( Y ( 1 ) = y ∣ X = 1 ) = P ( Y = y ∣ X = 1 ) P( Y( 0) =y) =P( Y( 0) =y|X=0) =P( Y=y|X=0)\\\\ P( Y( 1) =y) =P( Y( 1) =y|X=1) =P( Y=y|X=1) P(Y(0)=y)=P(Y(0)=y∣X=0)=P(Y=y∣X=0)P(Y(1)=y)=P(Y(1)=y∣X=1)=P(Y=y∣X=1)
此外
P
(
Y
(
0
)
=
0
)
=
∑
y
P
(
Y
(
0
)
=
0
,
Y
(
1
)
=
y
)
=
P
(
N
R
)
+
P
(
H
E
)
=
P
(
Y
=
0
∣
X
=
0
)
P
(
Y
(
0
)
=
1
)
=
∑
y
P
(
Y
(
0
)
=
1
,
Y
(
1
)
=
y
)
=
P
(
H
U
)
+
P
(
A
R
)
=
P
(
Y
=
1
∣
X
=
0
)
P
(
Y
(
1
)
=
0
)
=
∑
y
P
(
Y
(
0
)
=
y
,
Y
(
1
)
=
0
)
=
P
(
N
R
)
+
P
(
H
U
)
=
P
(
Y
=
0
∣
X
=
1
)
P
(
Y
(
1
)
=
1
)
=
∑
y
P
(
Y
(
0
)
=
y
,
Y
(
1
)
=
1
)
=
P
(
H
E
)
+
P
(
A
R
)
=
P
(
Y
=
1
∣
X
=
1
)
(1)
\\beginaligned P( Y( 0) =0) =\\sum _y P( Y( 0) =0,Y( 1) =y) =P( NR) +P( HE) =P( Y=0|X=0) \\\\ P( Y( 0) =1) =\\sum _y P( Y( 0) =1,Y( 1) =y) =P( HU) +P( AR) =P( Y=1|X=0)\\\\ P( Y( 1) =0) =\\sum _y P( Y( 0) =y,Y( 1) =0) =P( NR) +P( HU) =P( Y=0|X=1) \\\\ P( Y( 1) =1) =\\sum _y P( Y( 0) =y,Y( 1) =1) =P( HE) +P( AR) =P( Y=1|X=1) \\endaligned \\tag1
P(Y(0)=0)=y∑P(Y(0)=0,Y(1)=y)=P(NR)+P(HE)=P(Y=0∣X=0)P(Y(0)=1)=y∑P(Y(0)=1,Y(1)=y)=P(HU)+P(AR)=P(Y=1∣X=0)P(Y(1)=0)=y∑P(Y(0)=y,Y(1)=0)=P(NR)+P(HU)=P(Y=0∣X=1)P(以上是关于潜在结果框架(Potential outcomes)与工具变量(Instrumental variable)介绍的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
潜在结果框架(Potential outcomes)与工具变量(Instrumental variable)介绍
Objective C：switch inside loop - 如何避免（潜在的）内存泄漏
dwr的A request has been denied as a potential CSRF attack.错误