JSOI2008球形空间产生器

Posted 2020-09-07 蒟蒻ZJO :-)

P2182 - 【JSOI2008】球形空间产生器

Description

有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

第一行是一个整数，n。
接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。
每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

Hint

数据规模：

对于40%的数据，1<=n<=3

对于100%的数据，1<=n<=10

提示：给出两个定义：

1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。

2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：
      dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

 

 

分析x=3的情况：

设球心为x,y,z,半径为r。

则可以列出方程：

(a1-x)^2+(b1-y)^2+(c1-z)^2=r^2;

(a2-x)^2+(b2-y)^2+(c2-z)^2=r^2;

(a3-x)^2+(b3-y)^2+(c3-z)^2=r^2;

(a4-x)^2+(b4-y)^2+(c4-z)^2=r^2;

将每个方程化简，２，３，４方程都减去方程１，可得到类似这样的３个方程：

2(a2-a1)+2(b2-b1)+2(c2-c1)=a2^2-a1^2+b2^2-b1^2+c2^2-c1^2。

这样就把二次方程化简成了一次方程，然后就用高斯消元法解方程。

高斯消元法：

把系数都放在一个矩阵里，最后要把矩阵化为这样的形式：

1	0	0	x
0	1	0	y
0	0	1	z

最后x,y,z就是答案。

枚举每一列进行消元。

①选取一个主元：int
t=i;while(!a[t][i]) t++;

②将主元交换到当前行。

③将主元的系数化为一。

④然后将主元的这一列上的其他方程组的系数都化为０。（加减消元法）

 1 #include<set>
 2 #include<map>
 3 #include<queue>
 4 #include<stack>
 5 #include<ctime>
 6 #include<cmath>
 7 #include<string>
 8 #include<vector>
 9 #include<cstdio>
10 #include<cstdlib>
11 #include<cstring>
12 #include<iostream>
13 #include<algorithm>
14 using namespace std;
15 double a[15][15],b[15][15];
16 int n;
17 void gauss(){
18   for(int i=1;i<=n;i++){
19     int t=i;
20     while(!b[t][i]) t++;
21     for(int j=1;j<=n+1;j++) swap(b[i][j],b[t][j]);
22     double k=b[i][i];
23     for(int j=i;j<=n+1;j++) b[i][j]/=k;
24     for(int j=1;j<=n;j++)
25       if(j!=i && b[j][i]){
26     k=b[j][i];
27     for(int p=i;p<=n+1;p++)
28       b[j][p]-=k*b[i][p];
29       }
30   }
31 }
32 int main()
33 {
34   freopen("!.in","r",stdin);
35   freopen("!.out","w",stdout);
36   scanf("%d",&n);
37   for(int i=1;i<=n+1;i++)
38     for(int j=1;j<=n;j++)
39       scanf("%lf",&a[i][j]);
40   for(int i=2;i<=n+1;i++) // 列方程
41     for(int j=1;j<=n;j++)
42       b[i-1][j]=(a[i][j]-a[1][j])*2,b[i-1][n+1]+=(a[i][j]*a[i][j]-a[1][j]*a[1][j]);
43   gauss();
44   for(int i=1;i<=n;i++)
45     printf("%.3lf ",b[i][n+1]);
46   return 0;
47 }