第5题 查找字符串中的最长回文字符串---Manacher算法

Posted 2023-02-09 wuchao0508

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首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。 为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始和结尾加入另一个特殊字符这样就不用特殊处理越界问题，比如%#a#b#a#@;（如果是C++，字符串末尾有一个\\0，故结尾处不需要添加额为的特殊字符@）

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]，也就是把该回文串“对折”以后的长度），比如S和P的对应关系：

S  #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #
P  1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

那么怎么计算P[i]呢？该算法增加两个辅助变量id和mx，其中 id 为已知的 右边界最大 的回文子串的中心，mx则为id+P[id]，也就是这个子串的右边界。

然后可以得到一个非常神奇的结论，这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。就是这个串卡了我非常久。实际上如果把它写得复杂一点，理解起来会简单很多：

//记j = 2 * id - i，也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点(j = id - (i - id))
if (mx - i > P[j])
    P[i] = P[j];
else /* P[j] >= mx - i */
    P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i，取最小值，之后再匹配更新。

 

当然光看代码还是不够清晰，还是借助图来理解比较容易。

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是 说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。

对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。

 

代码如下：

package T005;
//参考：https://www.felix021.com/blog/read.php?2040
public class LongestPalindromicSubstring 
    public static void main(String[] args) 
        
        //String s = "abccbadafadfgnjjngfdaffdlgddfmdmmdalm";
        String s = "abccbadafad";
        System.out.println(longestPalindrome(s));
    
     public static String longestPalindrome(String s) 
        //字符串预处理
         String s1="$";
         for(int i=0;i<s.length();i++)
             s1=s1+"#"+s.charAt(i);
         
         s1=s1+"#@";
        //Manacher算法：开始
         int mx=0,id=0;//mx表示p[i]之前子串回文右边界的最大值，id为该子串的中心位置
         int[] p=new int[s1.length()];//存放所有字符对应的回文半径
         /*
          * s1:  $ # a # b # c # c # b # a # d # a # f # a # d # #
          * p[]: 1 1 2 1 2 1 2 7 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1 1
          */
         
         //以下循环i从1开始到倒数第二个值，因为首位的字符是人为加入的，可不考虑
         for(int i=1;i<s1.length()-1;i++)
             //当mx>i表示当前扫描点位于前面某个子串的回文字符串内，这时p[i]不需要从1开始
             //反之，p[i]=1
             //
             p[i] = mx > i ? Math.min(p[2*id-i], mx-i) : 1;
             
             //得到p[i]的初始值后，循环判断i两侧对称点的字符是否相等
             //tips:下面的下标i + p[i]和i - p[i]是不会溢出的
             //首先i显然大于等于p[i]，故i-p[i]>=0;
             //又因为p[i]>=0,i<s1.length,而s1最后两个字符是认为添加的，当进行到倒数第二个字符时
             //不满足while循环了，此时p[i]=1；故i+p[i]<s1.length也不会溢出
             while (s1.charAt(i + p[i]) == s1.charAt(i - p[i]))p[i]++;
             
             //更新mx，id的值
             if (i + p[i] > mx) 
                  mx = i + p[i];
                  id = i;
               
         
         //Manacher算法：结束
         System.out.println(s1);
         for(int i=0;i<p.length;i++)
             System.out.print(p[i]+" ");
         
         int idx=0,rad=0;
         for(int i=0;i<p.length;i++)
             if(rad<p[i])
                 idx=i;
                 rad=p[i];
             
         
         
         String s2 = s1.substring(idx-rad+1, idx+rad);
         s2=s2.replace("$", "");
         s2=s2.replace("#", "");
         //
         return s2;