基于链表实现的珂朵莉树

Posted 2023-02-03 synapse7

以下内容基于 CF896C Willem, Chtholly and Seniorious 来介绍。

珂朵莉树实质上是一种可以维护区间上的分裂与合并的数据结构，但要求数据是随机的，或者有大量的随机合并操作，这样才能保证维护的区间个数是一个很小的值。

一开始，我们用不同的节点表示 $[1,1],[2,2],...,[n,n]$ 以及该区间上的值。

本题中的“把区间 $[l,r]$ 赋值为 $x$”对应着一个合并操作，若随机到的 $[l,r]$ 范围比较大，则意味着有大量的节点会合并成一个节点。经测试，在若干次随机合并后，区间个数会骤降至一个稳定的范围（大约几十个），这是理解珂朵莉树的关键。

图例：横轴为操作次数，纵轴为区间个数

数据定义

目前主流的实现是基于 set 来维护节点，但由于平均维护的区间个数很小，set 的优势并不明显。相比之下，链表（或数组）能更简洁地维护分裂与合并操作。

typedef long long int64;

struct Block 
    Block *next; // 链表下一节点
    int l, r; // 区间范围
    int64 val; // 区间上的值

    Block(Block *next, int l, int r, int64 val): next(next), l(l), r(r), val(val) 
    bool operator<(const Block &b) const  return val < b.val; 
 *root;

基本操作

分裂区间

void split(int mid) 
	// 遍历链表
    for (Block *b = root; b; b = b->next) 
    	// 寻找能包含 mid 和 mid+1 的 [l, r]，将其被拆分成 [l, mid] 和 [mid+1, r]
        if (b->l <= mid && mid + 1 <= b->r)  
            b->next = new Block(b->next, mid + 1, b->r, b->val);
            b->r = mid;
            break;
        
    

在操作区间时，由于不能只维护区间的一部分，所以下面的操作进行之前都需要预先分裂区间，再完成相应操作。

// 预分裂，保证后续操作在 [l, r] 内部
void prepare(int l, int r) 
    split(l - 1);
    split(r);

合并区间

void merge(int l, int r, int64 val) 
	prepare(l, r)
	// 遍历链表
    for (Block *b = root; b; b = b->next) 
    	// 寻找区间左端点
        if (b->l == l) 
        	// 将区间 [b.l, b.r] 修改成 [b.l, r]
            b->r = r;
            b->val = val;
            // 然后寻找与 [b.l, r] 右侧相邻的区间，将当前节点链至该区间
            Block *tmp = b->next;
            while (tmp && tmp->l <= r) tmp = tmp->next;
            b->next = tmp;
            break;
        
    

// 注：这里没有释放被删除节点的内存，若有需要可自行添加

区间修改与计算

由于数据量很小，枚举整个链表即可。

// 区间更新
void add(int l, int r, int64 val) 
	prepare(l, r)
    for (Block *b = root; b; b = b->next) 
        if (l <= b->l && b->r <= r) b->val += val;
    


// 区间第 k 小
int64 kth(int l, int r, int k) 
	prepare(l, r)
    vector<Block> blocks;
    for (Block *b = root; b; b = b->next) 
        if (l <= b->l && b->r <= r) 
            blocks.emplace_back(*b);
        
    
    sort(blocks.begin(), blocks.end());
    k--;
    for (Block b: blocks) 
        int cnt = b.r - b.l + 1;
        if (k >= cnt) k -= cnt;
        else return b.val;
    


// 快速幂
int64 quick_pow(int64 x, int n, int64 mod) 
    x %= mod;
    int64 res = 1 % mod;
    for (; n; n >>= 1) 
        if (n & 1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
    
    return res;


// 区间幂和
int64 pow_sum(int l, int r, int n, int64 mod) 
	prepare(l, r)
    int64 sum = 0;
    for (Block *b = root; b; b = b->next) 
        if (l <= b->l && b->r <= r) 
            sum += int64(b->r - b->l + 1) * quick_pow(b->val, n, mod);
        
    
    return sum % mod;

AC 代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long int64;

int64 seed;

// 生成 [0, n-1] 的随机数
int rand(int n) 
    int64 ret = seed;
    seed = (seed * 7 + 13) % int64(1e9 + 7);
    return int(ret) % n;


struct Block 
    Block *next;
    int l, r;
    int64 val;

    Block(Block *next, int l, int r, int64 val): next(next), l(l), r(r), val(val) 
    bool operator<(const Block &b) const  return val < b.val; 
 *root;

void split(int mid) 
    for (Block *b = root; b; b = b->next) 
        if (b->l <= mid && mid + 1 <= b->r) 
            b->next = new Block(b->next, mid + 1, b->r, b->val);
            b->r = mid;
            break;
        
    


void prepare(int l, int r) 
    split(l - 1);
    split(r);


void add(int l, int r, int64 val) 
    for (Block *b = root; b; b = b->next) 
        if (l <= b->l && b->r <= r) b->val += val;
    


void merge(int l, int r, int64 val) 
    for (Block *b = root; b; b = b->next) 
        if (b->l == l) 
            b->r = r;
            b->val = val;
            Block *tmp = b->next;
            while (tmp && tmp->l <= r) tmp = tmp->next;
            b->next = tmp;
            break;
        
    


int64 kth(int l, int r, int k) 
    vector<Block> blocks;
    for (Block *b = root; b; b = b->next) 
        if (l <= b->l && b->r <= r) 
            blocks.emplace_back(*b);
        
    
    sort(blocks.begin(), blocks.end());
    k--;
    for (Block b: blocks) 
        int cnt = b.r - b.l + 1;
        if (k >= cnt) k -= cnt;
        else return b.val;
    


int64 quick_pow(int64 x, int n, int64 mod) 
    x %= mod;
    int64 res = 1 % mod;
    for (; n; n >>= 1) 
        if (n & 1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
    
    return res;


int64 pow_sum(int l, int r, int n, int64 mod) 
    int64 sum = 0;
    for (Block *b = root; b; b = b->next) 
        if (l <= b->l && b->r <= r) 
            sum += int64(b->r - b->l + 1) * quick_pow(b->val, n, mod);
        
    
    return sum % mod;


int main() 
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, m, v_max;
    cin >> n >> m >> seed >> v_max;

    root = new Block(nullptr, 0, 0, rand(v_max) + 1);
    Block *b = root;
    for (int i = 1; i < n; i++) 
        b->next = new Block(nullptr, i, i, rand(v_max) + 1);
        b = b->next;
    

    for (; m; m--) 
        int op = rand(4) + 1;
        int l = rand(n), r = rand(n);
        if (l > r) swap(l, r);
        int x = op == 3 ? rand(r - l + 1) + 1 : rand(v_max) + 1;
        prepare(l, r); // 在所有操作前预分裂
        switch (op) 
            case 1:
                add(l, r, x);
                break;
            case 2:
                merge(l, r, x);
                break;
            case 3:
                cout << kth(l, r, x) << '\\n';
                break;
            default:
                int64 y = rand(v_max) + 1;
                cout << pow_sum(l, r, x, y) << '\\n';
                break;
        
    
    return 0;