4. 整数规划：割平面法python代码

Posted 2023-02-22

参考技术A

割平面简单来说，就是添加约束条件 。比如在分支定界算法中，添加的x≤floor[x _s ]和x≥ceil[x _s ]便是两个用来割平面的约束条件。
分支定界法最终生成一颗树，当整数变量非常多时，求解节点会指数速度增加，因此需要使用一些方法提高求解速度，割平面法便是重要方法之一。分支的过程其实本身就是割平面的过程，floor[x]和ceil[x]之间的整个可行域在对x进行分支的过程中被切割掉了。

核心思想是： 将约束条件中的小数部分分离出来形成新的约束 。
假设整数规划的线性松弛问题求解结果中有一个基变量x _i =b _i0 不是整数，对应的约束条件为：
x _i +Σ _j∈J x _j b _ij = b _i0
其中J是非基变量下标集合。
令Z(b) = floor(b)，也就是b的整数部分；S(b) = b-floor(b)，也就是b的小数部分。则有：
S(b _i ) - Σ _j∈J x _j S(A _ij ) = Z(b _i ) + Σ _j∈J x _j Z(A _ij ) - Z(b _i )
因此S(b _i ) - Σ _j∈J x _j A(b _ij ) 是一个整数。
再结合S(b _i ) - Σ _j∈J x _j S(A _ij ) ≤ S(b _i ) ＜1
得到：
S(b _i ) - Σ _j∈J x _j S(b _ij ) ≤ 0
好了，这就是松弛问题每个非整数基变量带来的新的约束条件。为了转为标准型，还需要给这个约束条件添加一个剩余变量x\'：
Σj∈ _j∈J x _j S(A _ij ) - x\' = S(b _i )

基本框架还是用分支定界法，每次求解完之后添加割平面的约束条件：