ABC243F Lottery[组合数学]

Posted 2023-02-22 solemntee

题意：给你$N$种物品，每种被选取的概率是$P[i]$，独立的取$K$次，问取到的物品种类数恰好是$M$的概率
思路：
如果考虑物品选取的先后次序，对于选取物品的序列$a_1{a}_2{a}_3...a_K$（其中$a_i$表示第$i$次选取的物品$id$）
$$P(a_1{a}_2...a_K)=\prod _{i=1}^{K}P[a_i]$$
现在需要求物品种类数为$M$的概率，不妨设第$i$种物品$id$为$b_i$个数为$c_i$个，则总概率为
$$P=K!\prod _{i=1}^M\frac{P[b_i{]}^{c_i}}{c_i!}$$
显然这个式子可以通过$dp$递推求出
设$dp[i][j][k]$为前$i$个取了$j$种共取$k$个的概率和
枚举第$i$种物品选取的数量容易知道递推关系，不赘述

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=998244353;
ll poww(ll a,ll b)

	ll t=1;
	while(b)
	
		if(b&1)t=a*t%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	
	return t;

ll inv(ll x)

	return poww(x,mod-2);

ll P1[10000005],P2[10000005];
void init()

	P1[0]=1;
	for(int i=1;i<=10000000;i++)P1[i]=1LL*P1[i-1]*i%mod;
	P2[10000000]=inv(P1[10000000]);
	for(int i=9999999;i>=0;i--)P2[i]=1LL*P2[i+1]*(i+1)%mod;

ll dp[55][55][55];
int main()

	int K,M,N;
	scanf("%d%d%d",&N,&M,&K);
	ll sum=0;
	vector<ll>W(N+1),P(N+1);
	init();
	for(int i=1;i<=N;i++)
	
		scanf("%lld",&W[i]);
		sum+=W[i];
	
	for(int i=1;i<=N;i++)P[i]=1LL*W[i]*inv(sum)%mod;
	dp[0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=N;i++)
	for(int j=0;j<=M;j++)
	for(int k=0;k<=K;k++)
	
		for(int l=0;l<=k;l++)
		
			if(j-(l>0)>=0)dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j-(l>0)][k-l]*poww(P[i],l)%mod*inv(P1[l]%mod)%mod)%mod;
		
	
	printf("%lld",dp[N][M][K]*P1[K]%mod);
    return  0;