算法历练之路——传纸条（JAVA）

Posted 2021-02-05 萌萌哒的陈C酱

传纸条

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题目描述
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起 总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，
班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，
他们就无法直接交谈了。幸运 的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，
小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。
从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，
但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。
反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，
输入时用0表示），可以用一个0-100的自然 数来表示，数越大表示越好心。
小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，
使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。 现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

数据规模和约定
100%的数据满足：1< =m,n< =50

输入
输入第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1< =m,n< =50）。
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。
每行的n个整数之间用空格隔开。

输出
输出一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出
34

思路:dp
本道题需用到的算法为动态规划。
　　题目中提到在 m 行 n 列且带有权值的矩阵中从（1，1）到（m，n）找一条路径，
然后再从（m，n）到（1,1）找一条路径，这两天路径不能重复，即每个点只能两个人只能走一次，
且不可以回退，即第一条只能向下或向右，第二条只能向上或向左。
化简后可知：其实就是从（1，1）到（m，n）找两条路径，这两条路径只能向下或向右且不相交，
计算出这两条路径的权值和的最大值即可。
　　所以很容易构想出动态规划方程：
　　两个人走，利用四维的数组 dp[x1][y1][x2][y2] 来保存路径中间过程的权值之和的最大值，
其中 x1 y1 x2 y2 分别表示两个人的位置。

每个人现在的位置都有两种可能：从他的上边或左边；两个人组合就有四种可能，
因此：构造出动态规划方程（map[x][y] 表示权值，即好心程度）：
dp[x1][y1][x2][y2]=max(dp[x1-1][y1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2-1][y2],
dp[x1][y1-1][x2][y2-1],dp[x1-1][y1][x2][y2-1])+map[x1][y1]+map[x2][y2];
　　其中 x1，x2 的取值范围为从起点到终点，即 1 ~ m，y1，y2 的取值范围为起点到终点，即 1 ~ n。

 

 1 public class T1611 {
 2 
 3     static int[][] map;//好心程度
 4     static int[][][][] dp;
 5     
 6     public static void main(String[] args) {
 7         Scanner sc=new Scanner(System.in);
 8         int m=sc.nextInt();
 9         int n=sc.nextInt();
10         map=new int[52][52];
11         dp=new int[52][52][52][52];
12         for(int i=1;i<=m;i++) {
13             for(int j=1;j<=n;j++) {
14                 map[i][j]=sc.nextInt();
15             }
16         }
17         int sum=dp(m,n);
18         System.out.println(sum);    
19     }
20     
21     static int dp(int m,int n) {
22         for (int x1 = 1; x1 <= m; x1++){
23             for (int y1 = 1; y1 <= n; y1++){
24                 for (int x2 = 1; x2 <= m; x2++){
25                     for (int y2 = 1; y2 <= n; y2++){
26                         /*
27                          * 
28                               如果第一个人没有走到最后一行或最后一列，并且两个人没有重复 
29                                因为走到最后一行或最后一列，容易造成第二个人无路可走的情况 
30                         */
31                         if ((x1 < m || y1 < n) && x1 == x2 && y1 == y2){
32                             continue;
33                         }
34                         dp[x1][y1][x2][y2] = Math.max(Math.max(dp[x1-1][y1][x2-1][y2], dp[x1-1][y1][x2][y2-1]), 
35                                 Math.max(dp[x1][y1-1][x2-1][y2], dp[x1][y1-1][x2][y2-1]))
36                                                  + map[x1][y1] + map[x2][y2];
37                     }
38                 }
39             }
40         }
41         return dp[m][n][m][n]; 
42     }
43 
44 }