转载+补充“最简单的” 相机透视投影矩阵推导与解析

Posted 2023-02-21 ShaderJoy

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作者：大其心宏其量扩其识

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来源：简书

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原文写得很好，但是主题格式我不太喜欢，所以我对文章的格式和重点的部分进行了 补充校正，方便自己日后阅读

正文

相机透视投影矩阵的 目标 是将 视锥体 内的顶点映射到 规范观察立方体 （NDC）内

以前总是记不住透视投影矩阵的推导，现在回过头翻看其实就可以总结为以下 4 步

1. 相似三角形
2. 人为构造
3. 线性映射
4. 解方程

• 透视锥到标准设备坐标
  

相似三角形计算（$x_e$->$x_p$ 和 $y_e$->$y_p$）

先用 相似三角形 的原理，计算出 $x_e$ 和 $y_e$ 在 近裁剪面 上的投影 $x_p 和 $ $y_p$

• 左：顶视图 右：侧视图
  

先计算 x 轴

同理，再计算 y 轴

人为构造第四行

因为 $x_p$, $y_p$ 都与 $-z_e$ 成反比，因为相机空间的坐标被 GL_PROJECTION 矩阵转换后还是 齐次坐标，最终得到 NDC 坐标是通过除以 裁剪坐标 的 $w$ 元素来得到的，所以把 $-z_e$ 当作裁剪坐标的 $w$ 元素

线性映射（得到第一、二行）

接下来根据 $x_p$->$x_n$, $y_p$->$y_n$ 的 线性映射 关系：[r,l]->[1, -1], [b,t]->[1, -1] 得出归一后公式(一次函数)

把 $x_p$ 与 $y_p$ 代入到公式中

方程里的每一项都除以 $-z_e$, 那么 括号里的 就变成了 裁剪坐标 $x_c$, $y_c$

这样，已经推导出了 第一行 与 第二行

解方程（得到第三行的 A 与 B）

求 $z_n$ 与 $x_n$，$y_n$ 不太一样，所有点的 $z_e$ 投影到 近裁剪面 上以后都是相同的，但是我们要用 $z_e$ 来进行裁剪与深度测试, 所以我们要 反向投影。Z 轴与 X,Y 轴是无关联的，可以用 Z 轴与 近裁剪面 与 远裁剪面 相交的两个特殊点 (0,0,-n,1), (0,0,-f,1), 反推出映射关系中的 A,B

因为在相机空间中，$w_e$ 是 1 所以简化为

在规则观察体里 -n 映射成 -1, -f 映射成 1,代入方程

解方程求出 A,B

得到最终矩阵

再把 $z_e$ 与 $z_n$ 的关系代入

• OpenGL Perspective Projection Matrix
  

如果相机视锥是对称的，r=-l, t=-b，投影矩阵可以简化为

可恶的非线性

需要 注意 到 $z_e$ 与 $z_n$ 的关系 不是线性 的，离 近裁剪面 近的时候变化很大，远的时候变化很小，这会导致深度的精度问题，所以尽可能使用 小一些 的深度值

• Comparison of depth precision
  

（kuso! ）

也是因为这个 非线性 问题，导致 透视除法 被延后到了 顶点着色器和片元着色器之间，不然顶点着色器后的插值会出问题。

实际的裁剪

实际硬件上的裁剪步骤是在 裁剪空间 的齐次坐标（顶点着色器中经过 MVP 变换得到）下就完成的，而不是经过透视除法后（顶点着色器和片元着色器之间）的 NDC 空间中，即 xyz 分别和 w 进行比较[注0]，而不是除了 w 后再和 [-1,1] 进行比较

注0：据说硬件上在 xy 上的裁剪还会乘上一个 guardband 系数 扩大范围

参考

• OpenGL Projection Matrix
• 图形学基础 - 变换 - 投影
• 齐次坐标系与Unity投影矩阵的推导
• Unity 透视投影矩阵变换的可视化