无向图的最大完全子图问题

Posted 2023-05-15

如题，如何在一个无向图中求它的最大完全子图？急！！！

参考技术A 这里把最大完全子图叫做最大团
设一个图的最大团有：｛１，２，５｝｛２，３，５｝｛１，４，５｝也就是3，下面是用优先队列实现的最大团问题：与旅行售货员问题不同，最大团问题解决的是一棵子集树。我们生成一棵子集树，树的第i层代表第i个节点。而如果是左孩子则表示当前的团要这个节点，如果是右孩子就表示不要这个节点，由此建立优先队列。

如何建立优先队列：首先对于有限队列来说，其实就是一个大根堆或小根堆（这个取决你<运算符的重载）。而对于最大团问题这里建立的是大根堆，首先我们想能成为最大团的肯定是当前队列中能够最有得要最多的顶点的元素，而在能够得到最大顶点数的前提下，已经获得顶点数最多的元素显然成为最大团的概率比较大，所以如果可能获得的顶点数是相同，那么已经获得多顶点的元素比少了优先出队。这样第一个叶子节点肯定就是你要的解。接下来就是如何实现的问题了。

# include <iostream>
# include <string>
# include <queue>
using namespace std;

struct bbnode //定义一棵子集数，LChild代表当前的层是在昨孩子还是右孩子
//左孩子代表要这个点，右孩子代表不要。parent代表父亲节点
bbnode *parent;
bool LChild;
;
struct CliqueNode //定义优先队列类型为CliqueNode

int cn,un,level; //分别是当前团顶点数，最大顶点上界，和所在的层次
bbnode *ptr; //记录该点的情况是左孩子还是右孩子，父母是谁
bool operator<(const CliqueNode& a) const //<号重载建立大根堆

if(a.un>un) return true;
if(a.un==un&&a.cn>cn) return true;
else return false;

;
int G[101][101]; //定义图
bool bestx[101]; //记录最大团的情况

void init(int n) //输入

int i,j;
memset(G,1,sizeof(G));
memset(bestx,false,sizeof(bestx));
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&G[i][j]);


int work(int n)

bbnode *E=new(bbnode); //定义E代表记录的队列情况
int i=1,j,cn=0,bestn=0; //cn代表当前解，bestn代表最优解
bool OK; //哨兵，判断新加入的点是否满足最大团
priority_queue<CliqueNode> Q; //定义优先队列Q

E->LChild=false; //初始化
E->parent=NULL;
while(i!=n+1)

OK=true;
bbnode *B=E; //把当前点的数据给B，B为中间变量
for(j=i-1;j>0;B=B->parent,j--)
if(B->LChild && G[i][j]==0) //如果不满足就停止

OK=false;
break;

if(OK) //满足条件

CliqueNode *C=new(CliqueNode); //定义一个节点C
C->ptr=new(bbnode);
if(cn+1>bestn) bestn= cn + 1; //如果当前解+1大于最优解
C->cn=cn+1; //输入数据
C->level=i+1;
C->ptr->LChild=true;
C->ptr->parent=E;
C->un=cn+1+n-i;
Q.push(*C); //进队列

if( cn + n - i >= bestn ) //不满足条件但是还是可能有最优解

CliqueNode *C=new(CliqueNode); //定义一个节点C
C->ptr=new(bbnode);
C->cn=cn; //输入数据
C->level=i+1;
C->ptr->LChild=false;
C->ptr->parent=E;
C->un=cn+n-i;
Q.push(*C); //进队列

CliqueNode N;
N=Q.top(); //取队顶元素，最大堆
Q.pop(); //删除队顶元素
E=N.ptr; //记录当前团的信息
cn=N.cn; //记录当前团的顶点数
i=N.level; //所在的层次

for(j=n;j>0;j--) //保存最优解

bestx[j]= E->LChild;
E=E->parent;

return bestn;


int main()

int n;
while( scanf("%d",&n)!=EOF )

init(n);
int ans=work(n);
printf("%d\n",ans);
for(int i=n;i>0;i--)
if(bestx[i]==true)
printf("%d ",i);
putchar(10);

return 1;


/*
5
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1
1 1 1 1 0
*/

运筹学笔记 图与网络分析

文章目录

• • 图的基本概念与基本定理
  • 树和最小生成树
  • 最短路问题
  • 网络系统最大流问题
  • 网络系统最小费用最大流问题
  • 中国邮递员问题

图的基本概念与基本定理

一 . 图的基本概念
1 . 无向图与有向图

2 . 关联与邻接
3. 顶点的度数，图的最大度及最小度


4. 简单图

5 . 完全图

6. 子图、生成子图、补图


7 . 同构图

8 . 图的通路（或链）、回路（或圈）


9 . 连通图

二 . 图的基本定理
定理1：（ 握手定理）度数与边数的关系
推论1： 任意图中度数为奇数的顶点个数必为偶数。

树和最小生成树

一 . 树及其性质
1 . 定义： 连通而不含回路（圈）的无向图称为无向树，简称树。
树是连通图中边数最少的图，少一条边，就会不连通，而加一条边就出回路，树正处于临界的状态；
树是图论中最重要的概念之一，又是图论中结构最简单，用途最广泛的一种连通图。例如，同一祖先繁衍的后代按父系血缘关系画出的家谱图就是一棵家族树。

二 . 生成树
1 . 生成树的概念
如果图G的生成子图是一棵树，则该树T称为图G的生成树

在有线通讯网和交通网中，在保证节点连通的条件下，边数最少（可以节省材料和投资）的线路图必然是生成树，如下图所示 ：

2. 生成树的求法
上述推导不仅证明了定理的结论，同时给出了生成树的一种构造方法。根据这种方法的特点，我们称其为破圈法。
由于破圈过程中，可去掉回路上的任意一条边，因此，去的边不同得到的生成树就可能不同。


注意破圈法的特点：是先找到一个回路，之后再其上逐渐“去边”。就象对图做剪枝，最后修剪成一棵树。自然我们就会考虑，能否倒过来，用逐渐“加边”的方法得到生成树？这里的关键就在于加边的规则。
每次加的边都成为生成树的边，就必须保证加边时不能出现回路。开始时，可任意选择图G的一条边，之后按无回路的原则加边，直至构造出生成树。将此方法形象的称做避圈法。同理，根据加的边不同，所得到的生成树就可能不同。
生成树的求解方法： 破圈法、避圈法
3. 图的生成树的变换

图的一个生成树，增加一条弦，形成唯一的圈，去掉生成树的一条边，得到一个新的图的生成树。

三 . 最小生成树
1.概念
2. 最小生成树的求法
受前面生成树的构造方法的启发，对于寻找最小生成树，它的关键仍然是在边上做文章，即如何删除或选择边。为了达到所谓的最优，因此在原来没有回路的原则上，必须还要考虑边的权值。这就自然产生了相应的两种求最小生成树的方法，我们同样可以称其为破圈法和避圈法。

求最小生成树的方法之一： 破圈法
算法的去边原则为：删除回路上最长的边
即整个方法可以简单描述为：任取一个回路后，删除回路上权值最大的边。
求最小生成树的方法之二：避圈法（又称Kruskal算法）
方法的思路是：在无回路的原则下，优先地选择权小的边
为了选择权值小的边，在避圈法中需要对图中的边，根据其权值进行排序。

破圈法与避圈法的比较
对某图G，应该采取什么方法寻找最小生成树好，需要具体问题具体分析。
一般来讲，若图中边数较少时用破圈法较好，此时图中的圈少，计算能快一些。但当边数较多时，则用避圈法相对要快一些。另外，从算法的过程来看，破圈法比较简单，容易做。而避圈法，它是通过循环、选择等过程完成，方法上比较系统，特别适合于在计算机上编程实现。

最短路问题

最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。如某城市的交通网，因城市内的道路存在单行线。因此描述交通网的图是一个有向图。决定行程时就会遇到，求某地到其它各地的最短路问题。另外许多优化问题可以使用这个模型，如设备更新、管道铺设 、线路安排、厂区布局等。
根据问题的不同，可以将最短路径分为以下两种类型：
• 求图中某一顶点到其它顶点的最短路径。
• 求图中每一对顶点之间的最短路径。

图边中的权W(e) ≥0时的求解方法
确定两点之间距离的较好方法是迪克斯特拉(E.W.Dijkstra)在1959年提出的一个算法, 这一算法至今仍是解这个问题的最好算法

注意：Dijkstra算法只适用于边的权W(e) ≥0情况

Dijkstra算法又称标号法

图边中的权W(e) ＜0时的求解方法
Dijkstra算法仅适合于所有的权wij ≥0的情形。如果当赋权有向图中存在有负权弧时，则该算法失效。
在存在负权时，可采取逐次逼近算法来求解。

举例1： 对如下赋权有向图，求V1到各点的最短路。

网络系统最大流问题

最大流问题： 给了一个带收发点的网络，其每条有向边的权值称为容量，在不超过每条有向边的容量的前提下，求出从发点到收点的最大流量。
1 . 网络与流
2. 可行流与最大流
对实际的网络系统上的流，有几个特点：
• 发点的总流出量和收点的总流出量必然相等。
• 每一个中间点的流入量与流出量的代数和等于0。
• 每一个有向边上的流量不能超过它的最大通过能力（即流量）。
显然任意一个网络上的可行流总是存在的。如：v(f)=0
所谓网络系统的最大流问题，就是求在给定的网络上寻求一个可行流f，使其流量v(f)达到最大，并且满足上面的平衡条件及容量限制。
最大流问题是一个特殊的线性规划问题，但是利用它与图的紧密关系求解更为直观简便。

3 . 增广链



基本定理

求最大流的标号法
设已有一个可行流（若D中没有f，可以令f为零流），标号算法分2个步骤：
第一步是标号过程，通过标号来寻找增广链；
第二步是调整过程，沿增广链调整 f 以增加流量

1. 标号过程
   
2. 调整过程
   

网络系统最小费用最大流问题

在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问题时，不仅需要考虑流量，有时还经常要考虑费用的问题。比如一个输油管网络运输系统，既要考虑输油量最大，又要考虑总费用最小。 最小费用最大流问题就是解决此类问题。

一 . 最小费用最大流的数学模型

解法1：（线性规划解法）——分2步

解法2： 网络图论的解法
二 . 最小费用最大流的网络图论解法
最小费用最大流的网络图论的解法类似于求最大流的网络图论方法

本章介绍了“最小费用最大流问题”、“最大流问题”、和“最短路径问题”三种网络优化问题。
实际，“运输问题”也是一种网络优化问题。
以上四类问题具有许多共同的特征，如都是具有网络结构的线性规划问题。这些问题的变量都是与网络的边对应，约束条件都与网络的节点对应，因此这些问题的线性规划模型中，约束系数矩阵都具有网络问题的特点（不满秩、单位模性质）。

中国邮递员问题

问题:
邮递员从邮局出发，走遍投递区域的所有街道，送完邮件后回到邮局，怎样使所走的路线全程最短.
若街道图（街道的交叉口为顶点）存在欧拉道路，显然此路是全程最短.

一. 欧拉回路问题（一笔画，边的遍历问题）
欧拉链（欧拉道路）：经过G的每一条边一次且仅一次的道路称之。
欧拉圈（欧拉回路）：经过G的每一条边一次且仅一次的回路称之。
一笔画： 存在欧拉链或欧拉圈的图。
结论1： 一个连通图G是欧拉图的充要条件是G中无度数为奇数的点。
结论2： 一个连通图G有欧拉道路的充要条件是G中有且仅有2个度数为奇数的点。

在许多情况下，图中并不存在欧拉回路。这时如何完成边的遍历问题，使得所走的路径最短。
比如某邮递员从邮局出发，需要遍历他所管辖的每一条街道，将信件送到后返回邮局，要求所走的路径最短。
这个问题是我国的数学家管梅谷先生在1962年首先提出的，因此国际上通常将此类问题称为中国邮路问题。

二. 求解中国邮路问题的图上作业法



中国邮路问题也可以表示为：
在一个有点的度数为奇数的图中，要求增加一些重复边，使得新的连通图不含有度数为奇数的点，并且增加的重复边总权最小。
为方便起见，增加重复边后不含奇点的新连通图叫做邮递路线，而总权最小的邮递路线称为最优邮递路线。
下面通过例子分别介绍初始邮递路线的确定、改进，以及一个邮递路线是否是最优路线的判定标准，从而得到求解的图上作业法。