如何理解IEEE 754标准对Java中float值和double值的规定

Posted 2020-12-04 chang4

在Java语言中，我们可以使用float和double这两种基本数据类型来表示特定的数据。

这两种数据类型，本质上是浮点数（floating-point number），浮点是一种对于实数的近似值数值表现法，由一个有效数字加上幂数来表示。

之所以使用浮点数，是因为计算机在使用二进制运算的过程中，无法将所有的十进制小数准确的换算为二进制，只能使用近似值来表示。

使用浮点数表示数值的方法很多，在Java中，和C语言一样，float和double都采用了使用最为广泛的IEEE 754标准。

IEEE 754标准的全称为IEEE二进制浮点数算术标准（ANSI/IEEE Std 754-1985），其中ANSI是美国国家标准学会（American National Standards Institute）的缩写，IEEE是电器电子工程师学会（Institute of Electrical and Electronics Engineers）的缩写，754是该标准的编号，1985则是该标准发布的年份。

 IEEE 754规定，一个二进制浮点数在存储中由三部分组成：

 其中第一部分为符号位（sign bit），第二部分为指数偏移值（exponent bias）用于存储浮点数的指数部分，第三部分为分数（fraction）用于存储浮点数的有效数的小数部分。

以一个具体的float值为例，Java中的float值采用的是IEEE754中的单精度标准，使用32个比特进行存储。例如：

0100 0100 1010 0110 1001 1110 0000 0000

其中：

0100 0100 1010 0110 1001 1110 0111 0100

第一位的0为符号位，它表示这个数的正负值为正，相应的，若第一位为1则表示这是一个负数；

0100 0100 1010 0110 1001 1110 0000 0000

第2~9的8个比特存储的是指数偏移值，用于记录该float值的指数部分，取值范围为-126~+127再加上偏移值127（2的7次方减1），结果就是1~254（0和255留作特殊值）。在本例中，1000 1001在十进制中的值为137，但是137是进行偏移后的结果，减去偏移值127后，其实际代表的指数值就是10。

0100 0100 1010 0110 1001 1110 0000 0000

第10~32的23个比特存储的是该float值的分数/小数部分。010 0110 1001 1110 0000 0000实际上表示的就是二进制的0.010 0110 1001 1110 0000 0000再加上1，也就是1.010 0110 1001 111。这实际上就是二进制的1010 0110 1001 111右移十四位的结果。1010 0110 1001 111在十进制中的值为21327，所以1.010 0110 1001 111也就等于21327*2^(-14)。

综上，例子中的：

0100 0100 1010 0110 1001 1110 0000 0000

实际上也就等于：

            +　　　　　　　　21327*2^(-14)　　　*　　　2^10　　　　=　　1332.9375

第一位符号位表示        第10~32的分数位表示　　第2~9的指数位表示

 

反之，例如我们想知道某个float a = 1000在内存中的形式，那么则需要如下操作：

首先，1000是个整数，所以第一个比特位存储的是0。

十进制的100在二进制中为11 1110 1000，这实际上就是1.111101左移9位的结果，
那么实际上指数位存储的结果就应该是9 + 127 = 136也就是1000 1000

分数位存储的则是1.111101减去1的部分，补齐23位，也就是111 1010 0000 0000 0000 0000

综上float a = 1000在内存中的存储为：

0100 0100 0111 1010 0000 0000 0000 0000

 

 

另外，前面提到过的，指数偏移值为0或255的时候代表特殊值：

当指数值为0，即0000 0000时，若小数部分为0，则这个数为±0（正负由符号位决定）；

当指数值为255，即1111 1111时，若小数部分为零，则这个数为±∞（正负由符号位决定）；

当指数值为255，即1111 1111时，若小数部分非零，则这个数表示为不是一个数（Not a Number）。

 

以上就是float的部分，double同理，只不过double采用IEEE 754双精度标准，使用64个比特存储，其中2~12的11位为指数位，13~64的52位为小数位。

 

References:

IEEE 754 - wiki
https://zh.wikipedia.org/zh-cn/IEEE_754

浮点数 - wiki
https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%B5%AE%E7%82%B9%E6%95%B0