运筹学整数规划求解这道题 要过程和结果

Posted 2023-05-12

鞍山街邮局从周一到周日所需值班人员如下表所示：
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
所需值班人数 15 17 14 14 15 19 20
(1) 规定邮局职工每周上班5天，休息2天，但具体上班和休息时间由邮局决定，但领导保证每名职工每周至少有一个休息日安排在周六或周日。问该邮局至少应配备多少名职工，试建立数学模型。
(2) 在上述条件的基础上，又假定该邮局有主任、副主任各一人，上级规定每天值班人员中至少有一名主任或副主任，又同样保证主任或副主任每周至少休息一个周六或周日，试建立数学模型。

附件是用excel求解的结果，结果不唯一，但是最优值是39且唯一。

 

假设职工休息第i和j天的人数为xij,可知一共有10种.以此为变量编程,我用的mathematica:

data = 15, 17, 14, 14, 15, 19, 20;

x = Map[ToExpression["x" <> ToString@#] &, 

  Table[10 i + j, i, 1, 5, j, 6, 7], 2];

vars = Flatten@x;

obj = Total@Total@x[[All, All]];

con0 = # >= 0 & /@ vars;

con1 = Table[obj - Total@x[[i, All]] >= data[[i]], i, 1, 5];

con2 = Table[obj - Total@x[[All, j - 5]] >= data[[j]], j, 6, 7];

cons = Join[con0, con1, con2];

Minimize[obj, cons, vars, Integers]

结果为:

39, x16 -> 12, x17 -> 2, x26 -> 1, x27 -> 2, x36 -> 3, x37 -> 2, 

 x46 -> 0, x47 -> 13, x56 -> 4, x57 -> 0

注意整数规划的结果唯一,但变量的取值通常不唯一.

第二个问类似,今天没时间做了...

参考技术A 我也想问啊

4. 整数规划：割平面法python代码

参考技术A

割平面简单来说，就是添加约束条件 。比如在分支定界算法中，添加的x≤floor[x _s ]和x≥ceil[x _s ]便是两个用来割平面的约束条件。
分支定界法最终生成一颗树，当整数变量非常多时，求解节点会指数速度增加，因此需要使用一些方法提高求解速度，割平面法便是重要方法之一。分支的过程其实本身就是割平面的过程，floor[x]和ceil[x]之间的整个可行域在对x进行分支的过程中被切割掉了。

核心思想是： 将约束条件中的小数部分分离出来形成新的约束 。
假设整数规划的线性松弛问题求解结果中有一个基变量x _i =b _i0 不是整数，对应的约束条件为：
x _i +Σ _j∈J x _j b _ij = b _i0
其中J是非基变量下标集合。
令Z(b) = floor(b)，也就是b的整数部分；S(b) = b-floor(b)，也就是b的小数部分。则有：
S(b _i ) - Σ _j∈J x _j S(A _ij ) = Z(b _i ) + Σ _j∈J x _j Z(A _ij ) - Z(b _i )
因此S(b _i ) - Σ _j∈J x _j A(b _ij ) 是一个整数。
再结合S(b _i ) - Σ _j∈J x _j S(A _ij ) ≤ S(b _i ) ＜1
得到：
S(b _i ) - Σ _j∈J x _j S(b _ij ) ≤ 0
好了，这就是松弛问题每个非整数基变量带来的新的约束条件。为了转为标准型，还需要给这个约束条件添加一个剩余变量x\'：
Σj∈ _j∈J x _j S(A _ij ) - x\' = S(b _i )

基本框架还是用分支定界法，每次求解完之后添加割平面的约束条件：