CF1245F: Daniel and Spring Cleaning

Posted 2020-12-01 CHD_wxz

CF1245F： Daniel and Spring Cleaning

题意描述:

• 给定区间([L,R])，其中 ((0leq L,Rleq 10^9))，问在区间内有多少数对((x,y))满足(x+y==xland y)。

输入描述：

• 第一行输入一个(T)表示测试样例数目。
• 接下来每一个测试样例输入两个整数(L,R)表示区间。

输出描述：

• 输出一个整数表示答案。

思路：

• 首先对条件进行变形。
• (x+y==xland y)，有(x&y==0)，证明略。
• 那么题目要求的就转化为区间内(x&y==0)的数对数量。
• 定义(f(l,r))为([l,r))区间内满足条件的数对的数量。那么显然有(f(0,r)=2r+f(1,r))，因为(0)可以和任意数字组合。
• 性质：(f(2l,2r)=3f(l,r))。
  • 证明：
  • 考虑满足条件的数对((x,y))的二进制表示。对于最右边的位置，有三种选择方式((0,1),(1,0),(0,0))。
  • 选择其他位的方法是(f(l,r))，因此(f(2l,2r)=3f(l,r))。
• 这样我们可以每次对范围除以(2)，但这样就要保证我们的(l,r)是偶数，当他不是偶数的时候可以进行如下操作。
• 定义(g(x,n))为满足以下条件的(y)的个数。
  • (0leq y<n)
  • (x&y==0)
• 那么当(l)是奇数的时候：
  • (f(l+1,r)=f(l,r)-2(g(l,r)-g(l,l)))。
    • 解释：由最上方定义的那个性质可以知道：(f(l,r)=num+f(l+1,r))，其中(num)是(l)与([l,r])区间内的数满足条件的数对((l,x))数量((xin[l,r]))。
    • 那么由(g(i,j))的定义可知，(g(l,r))表示(l)在([0,r])范围内满足条件的(y)的个数，(g(l,l))表示在([0,l))范围内满足条件的(y)的个数，那么两个相减就是([l,r))区间内满足条件数对的数量。当然要(*2)，因为((x,y))与((y,x))为两种情况。
  • 变形为(f(l,r)=f(l+1,r)+2(g(l,r)-g(l,l)))。
• 同样的当(r)为奇数的时候有：
  • (f(l,r-1)=f(l,r)-2(g(r-1,r)-g(r-1,l)))。
    • 解释：他的差值也就是(r-1)在([l,r))内有多少满足条件的数对。
  • (f(l,r)=f(l,r-1)+2(g(r-1,r)-g(r-1,l)))。
• 于是我们只需要考虑如何快速的计算(g(i,j))。
• 定义(h(x,n))为满足下列条件的(y)的数量。
  • (n-lowbit(n)leq y<n)
  • (x& y==0)
• 那么有(g(x,n)=h(x,n)+g(x,n-lowbit(n))(n>0))。
• 对于(h(x,n))，我们可以在(logn)的时间内计算出来。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll g(int a, int b)
{
    ll res = 0;
    ll num = 0;

    for(int i = 1; i <= b; i <<= 1)
    {
        if(b & i)
        {
            b ^= i;
            if(!(a&b)) res += 1<<num;
        }
        if(!(a&i)) num++;
    }

    return res;
}

ll calc(int a, int b)
{
    if(a == b) return 0;
    if(a == 0) return 2*b - 1 + calc(1, b);
    ll res = 0;
    if(a & 1)
    {
        //f(l,r)=f(l+1,r)+2(g(l,r)-g(l,l))
        res += 2 * (g(a, b) - g(a,a));
        a++;
    }
    if(b & 1)
    {
        //f(l,r)=f(l,r-1)+2(g(r-1,r)-g(r-1,l))
        res += 2 * (g(b-1, b) - g(b-1, a));
        b--;
    }
    return res + 3 * calc(a/2, b/2);
}

int main()
{
    int T; cin >> T;
    int a, b;
    while(T--)
    {
        cin >> a >> b;
        cout << calc(a, b+1) << endl;
    }
    return 0;
}