图论有向图的强连通分量

Posted 2023-02-19 a碟

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• 有向图的强连通分量
• 如何求强连通分量($Tarjan$算法)
• 受欢迎的牛
• 学校网络
• 最大半连通子图
• 银河

有向图的强连通分量

连通分量： 对于分量中任意两点$u,v$，必然可以从$u$走到$v$，且从$v$走到$u$。
强连通分量($SCC$)： 极大连通分量。一个连通分量加上任何一些点都不是连通分量了，该连通分量就是强连通分量。
强连通分量的作用： 将任意有向图通过 缩点(将所有连通分量缩成一个点) 转换成有向无环图($DAG$)。

常见应用：对于上图，将有向图缩点之后，可以直接按照拓扑序递推来求最短路/最长路

如何求强连通分量($Tarjan$算法)

$DFS$
一些概念：
边可以分为四大类：
1.树枝边$(x,y)$。$x$是$y$的父节点

2.前向边($x$,$y$)。$x$是$y$的祖先节点

3.后向边($x$,$y$)

4.横叉边(往之前搜过的其他分支搜，连向其他分支的边)

如果一个点在强连通分量($SCC$)中
情况1：存在一条后向边，指向祖先结点
情况2：先走到横叉边，横叉边再走到祖先节点

Tarjan算法求强连通分量($SCC$)
引入时间戳的概念，在搜索的时候给每一个点一个编号(按照深度优先搜索的顺序)

对每个点定义两个时间戳：
$dfn[u]$表示遍历到$u$的时间戳
$low[u]$表示从$u$开始走，所能遍历到的最小的时间戳
$u$是其所在的强连通分量的最高点，等价于$dfn[u]$==$low[u]$
tarjan算法模板

void tarjan(int u)
    //dfn是当前点的时间戳，low是该点能够到达的最小的时间戳
    dfn[u]=low[u]=++timestamp;
    stk.push(u),in_stk[u]=true;//将当前点加入栈当中
    for(int i=head[u];~i;i=ne[i])//遍历u所有能到的点
        int v=e[i];
        if(!dfn[v])//如果该点还没有被遍历过
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);//更新最小的时间戳
        
        else if(in_stk[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);//如果v点还在栈中，就用这个点来更新low值
    
    if(dfn[u]==low[u])//u是该强连通分量的最高点
        ++scc_cnt;
        int y;
        do
            y=stk.top();stk.pop();//将该强连通分量的所有点出栈
            in_stk[y]=false;//不在栈中了
            id[y]=scc_cnt;//标记该点的强连通分量的下标
            Size[scc_cnt]++;//该连通分量的大小加1
        while(y!=u);
    

时间复杂度$O(n+m)$

//缩点
for i=1;i<=n;i++
 for i的所有邻点j
   if i和j不在同一scc中:
    加一条新边id[i]→id[j]

形成一个有向无环图$(DAG)$
缩点之后，强连通分量编号点按编号递减的顺序就是拓扑序。
假设对于一个点$u$，当我们执行if(dfn[u]==low[u])这句话时，说明$u$点所能到的点都搜完了，也就是这个点的所有后继都搜完了，我们才将这个点所在序列当中(也就是标记为$scc\_cnt$)，逆序来看的话，所有这个点的后继都在这个点的前面，那必然就是拓扑序了。

受欢迎的牛

原题链接
每一头牛的愿望就是变成一头最受欢迎的牛。
现在有$N$头牛，编号从$1$到$N$，给你$M$对整数$(A,B)$，表示牛$A$认为牛$B$受欢迎。
这种关系是具有传递性的，如果$A$认为$B$受欢迎，$B$认为$C$受欢迎，那么牛$A$也认为牛$C$受欢迎。
你的任务是求出有多少头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。

输入格式
第一行两个数$N,M$；
接下来$M$行，每行两个数$A,B$，意思是$A$认为$B$是受欢迎的（给出的信息有可能重复，即有可能出现多个 $A,B$）。

输出格式
输出被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的牛的数量。

数据范围
$1\le N\le 10^4$,
$1\le M\le 5\times 10^4$

输入样例：

3 3
1 2
2 1
2 3

输出样例：

1

样例解释
只有第三头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。

分析：
题目意思就是需要找到的牛是能够被其他所有牛所能到达的，直接暴力的话时间复杂度太大。
如果用拓扑图来说，这个题会变得简单，如果当前图是一个拓扑图，如果至少存在两个终点(没有出边，出度为$0$)，那么这两个终点不可达，那么答案为$0$；如果只有一个点出度为$0$，那么所有点都能走到这个点。所以对于拓扑图，我们只需要判断有几个出度为$0$的点即可。那么本题，我们将一个图的强连通分量缩点成拓扑图，再进行判断。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=10005,M=50005;
int n,m;
int head[N],e[M],ne[M],tot;
int dfn[N],low[N],timestamp;
stack<int>stk;
bool in_stk[N];
int id[N],scc_cnt,Size[N];
int dout[N];
void add(int a,int b)
    e[tot]=b,ne[tot]=head[a],head[a]=tot++;

void tarjan(int u)
    //dfn是当前点的时间戳，low是该点能够到达的最小的时间戳
    dfn[u]=low[u]=++timestamp;
    stk.push(u),in_stk[u]=true;
    for(int i=head[u];~i;i=ne[i])
        int v=e[i];
        if(!dfn[v])//如果该点还没有被遍历过
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);//更新最小的时间戳
        
        else if(in_stk[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    
    if(dfn[u]==low[u])//u是该连通分量的最上面的点
        ++scc_cnt;
        int y;
        do
            y=stk.top();stk.pop();//将该连通分量的所有点出栈
            in_stk[y]=false;//不在栈中了
            id[y]=scc_cnt;//标记该点的连通分量的下标
            Size[scc_cnt]++;//该连通分量的大小加1
        while(y!=u);
    

int main()

    scanf("%d %d",&n,&m);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    while(m--)
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        add(a,b);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])
            tarjan(i);//缩点
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=head[i];~j;j=ne[j])
            int k=e[j];
            int a=id[i],b=id[k];//遍历每两个点，如果这两个点不在一个连通分量中，出度加1，相当于缩点了
            if(a!=b)dout[a]++;
        
    
    int zeros=0,sum=0;
    for(int i=1;i<=scc_cnt;i++)
        if(!dout[i])//出度为0的点只能有一个，最后的结果就是出度为0的那个连通分量的大小
            zeros++;
            sum+=Size[i];
            if(zeros>1)
                sum=0;
                break;
            
        
    
    printf("%d\\n",sum);
    return 0;

学校网络

原题链接
一些学校连接在一个计算机网络上，学校之间存在软件支援协议，每个学校都有它应支援的学校名单（学校$A$支援学校$B$，并不表示学校$B$一定要支援学校$A$）。
当某校获得一个新软件时，无论是直接获得还是通过网络获得，该校都应立即将这个软件通过网络传送给它应支援的学校。
因此，一个新软件若想让所有学校都能使用，只需将其提供给一些学校即可。
现在请问最少需要将一个新软件直接提供给多少个学校，才能使软件能够通过网络被传送到所有学校？
最少需要添加几条新的支援关系，使得将一个新软件提供给任何一个学校，其他所有学校就都可以通过网络获得该软件？

输入格式
第$1$行包含整数$N$，表示学校数量。
第$2..N+1$行，每行包含一