刷题日记前n个数字二进制中1的个数
Posted 傅耳耳
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了刷题日记前n个数字二进制中1的个数相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
前n个数字二进制中1的个数
题目描述
给定一个非负整数 n ,请计算 0 到 n 之间的每个数字的二进制表示中 1 的个数,并输出一个数组。
示例 1:
输入: n = 2
输出: [0,1,1]
解释:
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
示例 2:
输入: n = 5
输出: [0,1,1,2,1,2]
解释:
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101
说明 :
- 0 <= n <= 105
进阶:
- 给出时间复杂度为
O(n*sizeof(integer))
的解答非常容易。但你可以在线性时间O(n)
内用一趟扫描做到吗? - 要求算法的空间复杂度为
O(n)
。 - 你能进一步完善解法吗?要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数(如 C++ 中的
__builtin_popcount
)来执行此操作。
思路一:Brian Kernighan算法
遍历每个整数的每一位计算 [ 一比特数 ]
Brian Kernighan
算法:
- 使用
x & (x - 1)
可以将x
最后一个为1的位变为0 - 对
x
重复此操作直到x
为0,操作的重复次数就是x
的1的个数
对每个整数计算 [ 一比特数 ] 的时间复杂度不超过 O(logn)
时间复杂度:O(nlogn)
空间复杂度:O(1)
代码:
class Solution
public:
int countOnes(int x)
int ans = 0;
while(x > 0)
x = x & (x-1);
ans ++;
return ans;
vector<int> countBits(int n)
vector<int> v(n+1);
for(int i = 1;i <= n;i ++ )
v[i] = countOnes(i);
return v;
;
思路二:动态规划——最高有效位
动态规划:使用已知的递推计算未知的
最高有效位: 对于x
,已知最大的正整数 y
是2的整数幂次,并且 y<=x
,则 y
只有最高位为1,其余都为0,则称 y
为 x
的最高有效位。 (距离x最近的2的幂次数)
则若 z = x - y
, 则 bits[x] = bits[z] + 1
(+1即为减去的最高有效位的那个1)
例:
x = 10 : 1010
最高有效位 y = 8 : 1000
z = x - y = 1010 - 1000 = 0010
bits[10] = bits[2] + 1 = 2
判断2的整数幂:x & (x-1) = 0
算法步骤:
- 遍历1~n,当
x & (x-1) == 0
时,记录更新最高有效位highbit
O(n) - 对每个遍历的
x
,都计算其 [ 一比特数 ] ,bits[x] = bits[x - highbit] + 1
O(1)
时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)
代码:
class Solution
public:
vector<int> countBits(int n)
vector<int> bits(n+1);
int highbit = 0;
for(int i = 1;i <= n;i ++ )
if((i & (i - 1)) == 0)
highbit = i;
bits[i] = bits[i - highbit] + 1;
return bits;
;
注:运算符的优先级:等于 ==
的优先级高于 逻辑运算符 &
例:
int x = 2; cout << (x & (x - 1) == 0) << endl; cout << ((x & (x - 1)) == 0) << endl;
输出:
0 // 1.计算x-1=1 2.比较(x-1)==0 结果为0 3.计算x & 0 = 0 1 // 1.计算x-1=1 2.计算x & (x-1) 结果为0 3.比较 0 == 0 结果为true,即1
思路三:动态规划——最低有效位
最高有效位的动态规划需要实时维护最高有效位
最低有效位:通过右移x
,去除x
的最低位,从而从已经计算出的数 bits[x >> 1] 得到 bits[x]
- 最低位为0,偶数,bits[x] = bits[x >> 1]
- 最低位为1,奇数,bits[x] = bits[x >> 1] +1
合并为: bits[x] = bits[x >> 1] + (x % 2) = bits[x >> 1] + (x & 1)
时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)
代码:
class Solution
public:
vector<int> countBits(int n)
vector<int> bits(n+1);
for(int i = 1;i <= n;i ++ )
bits[i] = bits[i >> 1] + (i & 1);
return bits;
;
思路四:动态规划——最低设置位
最低设置位:最低的1的所在位
例:1010 最低设置位为2
思路一中Brian Kernighan
思想使用 x & (x-1)
逐位将最低设置位的1变为0,则使用一次 x & (x-1)
将最低设置位由1变0,即减少1个1,因此:
bits[x] = bits[x & (x-1)] + 1
代码:
class Solution
public:
vector<int> countBits(int n)
vector<int> bits(n+1);
for(int i = 1;i <= n;i ++ )
bits[i] = bits[i & (i-1)] + 1;
return bits;
;
以上是关于刷题日记前n个数字二进制中1的个数的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
leetcode刷题68.前 n 个数字二进制中 1 的个数 ——Java版