刷题日记前n个数字二进制中1的个数

Posted 傅耳耳

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了刷题日记前n个数字二进制中1的个数相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

前n个数字二进制中1的个数

题目描述

给定一个非负整数 n ,请计算 0 到 n 之间的每个数字的二进制表示中 1 的个数,并输出一个数组。

示例 1:

输入: n = 2
输出: [0,1,1]
解释: 
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10

示例 2:

输入: n = 5
输出: [0,1,1,2,1,2]
解释:
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101

说明 :

  • 0 <= n <= 105

进阶:

  • 给出时间复杂度为O(n*sizeof(integer))的解答非常容易。但你可以在线性时间 O(n) 内用一趟扫描做到吗?
  • 要求算法的空间复杂度为O(n)
  • 你能进一步完善解法吗?要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数(如 C++ 中的 __builtin_popcount )来执行此操作。

题目链接

思路一:Brian Kernighan算法

遍历每个整数的每一位计算 [ 一比特数 ]

Brian Kernighan 算法:

  • 使用 x & (x - 1) 可以将 x 最后一个为1的位变为0
  • x 重复此操作直到 x为0,操作的重复次数就是 x 的1的个数

对每个整数计算 [ 一比特数 ] 的时间复杂度不超过 O(logn)

时间复杂度:O(nlogn)

空间复杂度:O(1)

代码:

class Solution 
public:
    int countOnes(int x) 
        int ans = 0;
        while(x > 0) 
            x = x & (x-1);
            ans ++;
        
        return ans;
    

    vector<int> countBits(int n) 
        vector<int> v(n+1);
        for(int i = 1;i <= n;i ++ ) 
            v[i] = countOnes(i);
        
        return v;
    
;

思路二:动态规划——最高有效位

动态规划:使用已知的递推计算未知的

最高有效位 对于x ,已知最大的正整数 y2的整数幂次,并且 y<=x,则 y 只有最高位为1,其余都为0,则称 yx 的最高有效位。 (距离x最近的2的幂次数

则若 z = x - y , 则 bits[x] = bits[z] + 1 (+1即为减去的最高有效位的那个1)

例:

x = 10 : 1010

最高有效位 y = 8 : 1000

z = x - y = 1010 - 1000 = 0010

bits[10] = bits[2] + 1 = 2

判断2的整数幂x & (x-1) = 0

算法步骤:

  1. 遍历1~n,当 x & (x-1) == 0 时,记录更新最高有效位 highbit O(n)
  2. 对每个遍历的 x ,都计算其 [ 一比特数 ] ,bits[x] = bits[x - highbit] + 1 O(1)

时间复杂度:O(n)

空间复杂度:O(1)

代码:

class Solution 
public:
    vector<int> countBits(int n) 
        vector<int> bits(n+1);
        int highbit = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i ++ ) 
            if((i & (i - 1)) == 0)
                highbit = i;
            bits[i] = bits[i - highbit] + 1;
        
        return bits;
    
;

注:运算符的优先级:等于 == 的优先级高于 逻辑运算符 &

例:

int x = 2;
cout << (x & (x - 1) == 0) << endl;
cout << ((x & (x - 1)) == 0) << endl;

输出:

0  // 1.计算x-1=1  2.比较(x-1)==0 结果为0  3.计算x & 0 = 0
1  // 1.计算x-1=1  2.计算x & (x-1) 结果为0  3.比较 0 == 0 结果为true,即1

思路三:动态规划——最低有效位

最高有效位的动态规划需要实时维护最高有效位

最低有效位:通过右移x ,去除x的最低位,从而从已经计算出的数 bits[x >> 1] 得到 bits[x]

  • 最低位为0,偶数,bits[x] = bits[x >> 1]
  • 最低位为1,奇数,bits[x] = bits[x >> 1] +1

合并为: bits[x] = bits[x >> 1] + (x % 2) = bits[x >> 1] + (x & 1)

时间复杂度:O(n)

空间复杂度:O(1)

代码:

class Solution 
public:
    vector<int> countBits(int n) 
        vector<int> bits(n+1);
        for(int i = 1;i <= n;i ++ ) 
            bits[i] = bits[i >> 1] + (i & 1);
        
        return bits;
    
;

思路四:动态规划——最低设置位

最低设置位:最低的1的所在位

例:1010 最低设置位为2

思路一中Brian Kernighan 思想使用 x & (x-1) 逐位将最低设置位的1变为0,则使用一次 x & (x-1) 将最低设置位由1变0,即减少1个1,因此:

bits[x] = bits[x & (x-1)] + 1

代码:

class Solution 
public:
    vector<int> countBits(int n) 
        vector<int> bits(n+1);
        for(int i = 1;i <= n;i ++ ) 
            bits[i] = bits[i & (i-1)] + 1;
        
        return bits;
    
;

以上是关于刷题日记前n个数字二进制中1的个数的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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