等额本息贷款每月还款金额推导过程

Posted 海枫

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了等额本息贷款每月还款金额推导过程相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

假设贷款总额是A,而每月利息是b,总共360期,目标是计算每个月应该给银多少钱,推导过程如下。

设每个月还银行的本金为
m n ( 1 ≤ n ≤ 360 ) m_n ( 1 \\leq n \\leq 360) mn(1n360)
每个月还给银行的本金加上利息设为c,则每月的c是固定的。

现在分析一下第i个月的还款情况,前面i-1个月已经还了本金 ∑ n = 1 i − 1 m n \\sum_n=1^i - 1 m_n n=1i1mn,故此时只欠银行的本金为: A − ∑ n = 1 i − 1 m n A - \\sum_n=1^i - 1 m_n An=1i1mn,所本月应还的利息是: ( A − ∑ n = 1 i − 1 m n ) b (A - \\sum_n=1^i - 1 m_n)b (An=1i1mn)b,c应该是利息加上应还有本金,故有:

c = ( A − ∑ n = 1 i − 1 m n ) b + m i , 1 ≤ i ≤ 360 ( 式 1 ) c = (A - \\sum_n = 1 ^ i-1m_n)b + m_i, 1 \\leq i \\leq 360 (式1) c=(An=1i1mn)b+mi,1i360(1)

当还完第360个月之后,应该不再欠银行钱了,于是有:
A − ∑ n = 1 360 m n = 0 ( 式 2 ) A - \\sum_n=1^360m_n = 0 (式2) An=1360mn=0(2)

当式1取i = 360时,联合式2即有:
c = ( A − ∑ n = 1 359 m n ) b + m 360 c = (A - \\sum_n=1^359 m_n)b + m_360 c=(An=1359mn)b+m360
A − ∑ n = 1 359 m n − m 360 = 0 A - \\sum_n=1^359 m_n - m_360 = 0 An=1359mnm360=0
于是有:
c = m 360 b + m 360 c = m_360b + m_360 c=m360b+m360
即:
m 360 = c 1 + b m_360 = \\frac c 1 + b m360=1+bc

再次,对式1分别写出第i-1月和第i月的公式,即:
c = ( A − ∑ n = 1 i − 2 m n ) b + m i − 1 c = (A - \\sum_n = 1^i -2m_n)b + m_i-1 c=(An=1i2mn)b+mi1
c = ( A − ∑ n = 1 i − 2 m n − m i − 1 ) b + m i = ( A − ∑ n = 1 i − 2 m n ) b − m i − 1 b + m i c = (A - \\sum_n = 1^i - 2m_n - m_i-1)b +m_i = (A - \\sum_n = 1^i-2 m_n)b - m_i-1b + m_i c=(An=1i2mnmi1)b+mi=(An=1i2mn)bmi1b+mi
m i m_i mi看成已知,则可通过这两式子联合求得 m i − 1 m_i-1 mi1为:
m i − 1 = m i 1 + b m_i-1 = \\frac m_i 1 + b mi1=1+bmi

这就是 m i m_i mi的递推公式,而 m 360 = c 1 + b m_360 = \\frac c 1+b m360=1+bc,于是得到:
m 1 = c ( 1 + b ) 360 m_1 = \\frac c (1+b)^360 m1=(1+b)360c

最后将式1写出第1个月的公式为:
c = A b + m 1 c = Ab + m_1 c=Ab+m1

即:
c = A b + c ( 1 + b ) 360 c = Ab + \\frac c (1+b)^360 c=Ab+(1+b)等额本息贷款每月还款金额推导过程

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