等额本息贷款每月还款金额推导过程
Posted 海枫
tags:
篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了等额本息贷款每月还款金额推导过程相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
假设贷款总额是A,而每月利息是b,总共360期,目标是计算每个月应该给银多少钱,推导过程如下。
设每个月还银行的本金为
m
n
(
1
≤
n
≤
360
)
m_n ( 1 \\leq n \\leq 360)
mn(1≤n≤360)
每个月还给银行的本金加上利息设为c,则每月的c是固定的。
现在分析一下第i个月的还款情况,前面i-1个月已经还了本金 ∑ n = 1 i − 1 m n \\sum_n=1^i - 1 m_n ∑n=1i−1mn,故此时只欠银行的本金为: A − ∑ n = 1 i − 1 m n A - \\sum_n=1^i - 1 m_n A−∑n=1i−1mn,所本月应还的利息是: ( A − ∑ n = 1 i − 1 m n ) b (A - \\sum_n=1^i - 1 m_n)b (A−∑n=1i−1mn)b,c应该是利息加上应还有本金,故有:
c = ( A − ∑ n = 1 i − 1 m n ) b + m i , 1 ≤ i ≤ 360 ( 式 1 ) c = (A - \\sum_n = 1 ^ i-1m_n)b + m_i, 1 \\leq i \\leq 360 (式1) c=(A−n=1∑i−1mn)b+mi,1≤i≤360(式1)
当还完第360个月之后,应该不再欠银行钱了,于是有:
A
−
∑
n
=
1
360
m
n
=
0
(
式
2
)
A - \\sum_n=1^360m_n = 0 (式2)
A−n=1∑360mn=0(式2)
当式1取i = 360时,联合式2即有:
c
=
(
A
−
∑
n
=
1
359
m
n
)
b
+
m
360
c = (A - \\sum_n=1^359 m_n)b + m_360
c=(A−n=1∑359mn)b+m360
A
−
∑
n
=
1
359
m
n
−
m
360
=
0
A - \\sum_n=1^359 m_n - m_360 = 0
A−n=1∑359mn−m360=0
于是有:
c
=
m
360
b
+
m
360
c = m_360b + m_360
c=m360b+m360
即:
m
360
=
c
1
+
b
m_360 = \\frac c 1 + b
m360=1+bc
再次,对式1分别写出第i-1月和第i月的公式,即:
c
=
(
A
−
∑
n
=
1
i
−
2
m
n
)
b
+
m
i
−
1
c = (A - \\sum_n = 1^i -2m_n)b + m_i-1
c=(A−n=1∑i−2mn)b+mi−1
c
=
(
A
−
∑
n
=
1
i
−
2
m
n
−
m
i
−
1
)
b
+
m
i
=
(
A
−
∑
n
=
1
i
−
2
m
n
)
b
−
m
i
−
1
b
+
m
i
c = (A - \\sum_n = 1^i - 2m_n - m_i-1)b +m_i = (A - \\sum_n = 1^i-2 m_n)b - m_i-1b + m_i
c=(A−n=1∑i−2mn−mi−1)b+mi=(A−n=1∑i−2mn)b−mi−1b+mi
将
m
i
m_i
mi看成已知,则可通过这两式子联合求得
m
i
−
1
m_i-1
mi−1为:
m
i
−
1
=
m
i
1
+
b
m_i-1 = \\frac m_i 1 + b
mi−1=1+bmi
这就是
m
i
m_i
mi的递推公式,而
m
360
=
c
1
+
b
m_360 = \\frac c 1+b
m360=1+bc,于是得到:
m
1
=
c
(
1
+
b
)
360
m_1 = \\frac c (1+b)^360
m1=(1+b)360c
最后将式1写出第1个月的公式为:
c
=
A
b
+
m
1
c = Ab + m_1
c=Ab+m1
即:
c
=
A
b
+
c
(
1
+
b
)
360
c = Ab + \\frac c (1+b)^360
c=Ab+(1+b)等额本息贷款每月还款金额推导过程