数据结构的“图的生成树”是如何定义的？

Posted 2023-04-30

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构的“图的生成树”是如何定义的？相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

求其概念，希望能简要阐述，书上都举例说明的，并没有定义其概念。谢谢各位兄弟了，本人立等答复。

定义1：对于无向图G和一棵树T来说，如果T是G的子图，则称T为G的树，如果T是G的生成子图，则称T是G的生成树。

定义2：对于一个边上具有权值的图来说，其边权值和最小的生成树称做图G的最小生成树。

若一个无向图G的生成子图是一棵树，则称之为G的生成树。连通且不含圈的无向图如城市煤气、自来水管道网络，铁路的专用线网等，都可以用树的形式来表示。

扩展资料：

最小树形图基于贪心的思想和缩点的思想，将几个点看成一个点，所有连接到这几个点的边都视为连到收缩点，所以从这几个点连出的边都被视为从收缩点连出；次小生成树的边的权值和可能等于最小生成树的权值和，或者略大。

对于一个连通网（即连通带权图，假定每条边上的权值均为正实数）来说生成树不同，每棵树的权（即树中所有边上的权值总和）也可能不同。

参考资料来源：

百度百科-图的生成树

参考技术A 生成树定义：
设图 G=(V, E) 是个连通图，当从图任一顶点出发遍历图G 时，将边集 E(G) 分成两个集合 T(G) 和 B(G)。其中 T(G)是遍历图时所经过的边的集合，B(G) 是遍历图时未经过的边的集合。显然，G1(V, T) 是图 G 的极小连通子图，即子图G1 是连通图 G 的生成树。

最小生成树：
给定一个无向网络，在该网的所有生成树中，使得各边权数之和最小的那棵生成树称为该网的最小生成树。

深度优先生成森林：
连通图的生成树不一定是唯一的，不同的遍历图的方法得到不同的生成树;从不同的顶点出发可得到不同的生成树。
连通图本身就是连通分量，其中顶点集+遍历经过的边=生成树。
非连通图的生成森林不一定是唯一的。
非连通图各个连通分量的顶点集+遍历时经过的边=若干颗生成树（生成森林）参考技术B 一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。本回答被提问者采纳

数据结构—— 图：最小生成树问题

4. 最小生成树问题

4. 最小生成树问题

4.1 什么是最小生成树

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。

最小生成树(Minimum Spanning Tree)： ■ 是一棵树
⋄ 无回路
⋄ |V|个顶点一定有|V|-1条边
■ 是生成树
⋄ 包含全部顶点
⋄ |V|-1条边都在图里
■ 边的权重和最小

向生成树中任加一条边，都一定构成回路，如下图所示，左上角第一幅图是完全图，其他三幅图均为生成图。

在这里插入图片描述
结论： 最小生成树存在 $\\leftrightarrow$ 图连通。

4.2 贪心算法

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，算法得到的是在某种意义上的局部最优解。

■ 什么是 “贪”：每一步都要最好的
■ 什么是 “好”：权重最小的边
■ 需要约束： ⋄ 只能用图里有的边
⋄ 只能正好用掉|V|-1条边
⋄ 不能有回路

4.2.1 Prim算法

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。

Prim算法，让一棵小树长大。核心思想：贪心思想，找到临近最短的就更新。

Prim算法的步骤：

step1：在下图所示的图中，首先选择 $v_{1}$ 作为根节点；

在这里插入图片描述

step2：寻找与 $v_{1}$ 相关的边中权重最小的一条，即 $v_{1}$ 和 $v_{4}$ 之间的边，并将其结点 $v_{4}$ 收录进来；

在这里插入图片描述

step3：寻找与 $v_{1}$ 、 $v_{4}$ 相关的边中权重最小的一条，即 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 之间的边，并将其结点 $v_{2}$ 收录进来；

在这里插入图片描述

step4：寻找与 $v_{1}$ 、 $v_{4}$ 、 $v_{2}$ 相关的边中权重最小的一条，即 $v_{4}$ 和 $v_{3}$ 之间的边，并将其结点 $v_{3}$ 收录进来；

在这里插入图片描述

step5：寻找与 $v_{1}$ 、 $v_{4}$ 、 $v_{2}$ 、 $v_{3}$ 相关的边中权重最小的一条，即 $v_{4}$ 和 $v_{7}$ 之间的边，并将其结点 $v_{7}$ 收录进来（不能将 $v_{2}$ 和 $v_{4}$ 、 $v_{1}$ 和 $v_{3}$ 之间的边收录进来，因为会构成一个回路）；

在这里插入图片描述

step6：寻找与 $v_{1}$ 、 $v_{4}$ 、 $v_{2}$ 、 $v_{3}$ 、 $v_{7}$ 相关的边中权重最小的一条，即 $v_{7}$ 和 $v_{6}$ 之间的边，并将其结点 $v_{6}$ 收录进来；

在这里插入图片描述

step7：寻找与 $v_{1}$ 、 $v_{4}$ 、 $v_{2}$ 、 $v_{3}$ 、 $v_{7}$ 、 $v_{6}$ 相关的边中权重最小的一条，即 $v_{7}$ 和 $v_{5}$ 之间的边，并将其结点 $v_{5}$ 收录进来。

在这里插入图片描述
Prim算法的代码如下所示。

void Prim ()
{ 
    MST= {s};
    while (1){
        V = 未收录顶点中dist最小者;
        if (这样的V不存在)
            break;
        将V收录进MST: dist[v]= 0 ;
        for ( V的每个邻接点W )
            if ( dist[W]!=0 )
                if (E(V,W)<dist[W]){
                    dist[W]=E(V,W);
                    parent[W]=V;
                }
    }
    if(MST中收的顶点不到|V|个)
        Error ("生成树不存在" );
}

初始化： $dist[V]=E_{(s,V)}$ 或正无穷
parent[s] =-1

Prim算法的时间复杂度： $T=O(|V|^{2})$ ，对稠密图合算。

4.2.2 Kruskal算法

克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）是求连通网的最小生成树的另一种方法。与普里姆算法不同，它的时间复杂度为 $O (e l o g e)$ （e为网中的边数），所以，适合于求边稀疏的网的最小生成树。

Kruskal算法，将森林合并成树。核心思想：不停地找权重最小的边合在一起，但需要注意的是，不能构成回路。如何找最小权重所在的边，可以靠最小堆来解决；如何判断是否构成回路，可以用并查集看是否属于同一棵树。

Kruskal算法的步骤：

step1：首先将权重最小（即权重为1)的 $v_{1}$ 和 $v_{4}$ 、 $v_{6}$ 和 $v_{7}$ 之间
以上是关于数据结构的“图的生成树”是如何定义的？的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

图解：如何实现最小生成树（Prim算法与Kruskal算法）

数据结构—— 图：最小生成树问题

图的最小生成树（普利姆prim算法）

Kruskal算法 (克鲁斯卡尔)

[数据结构]最小生成树

[数据结构]最小生成树