求助:求任意两点之间的最短路问题用啥算法比较好?
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了求助:求任意两点之间的最短路问题用啥算法比较好?相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
参考技术A 以这两点为端点的线段最短。 参考技术B Dijikstra改造一下,就可以求任意两点间最短路了。Folyd时间复杂性太大,数据大的话不划算。 参考技术C floyd 算法数据结构与算法图最短路径算法 ( Floyed 算法 | 图最短路径算法使用场景 | 求解图中任意两个点之间的最短路径 | 邻接矩阵存储图数据 | 弗洛伊德算法总结 )
文章目录
- 一、最短路径
- 二、图最短路径算法使用场景
- 三、求解图中任意两个点之间的最短路径
- 四、邻接矩阵存储图数据
- 五、只允许经过 1 号点中转得到任意两点之间的最短路径
- 六、在之前的基础上-只允许经过 1、2 号点中转得到任意两点之间的最短路径
- 七、在之前的基础上-只允许经过 1、2 、...、n 号点中转得到任意两点之间的最短路径
- 八、弗洛伊德算法总结
图的最短路径算法 : 有如下四种 ;
- 弗洛伊德算法 Floyed ;
- 迪杰斯特算法 Dijstra ;
- 贝尔曼-弗洛伊德算法 Bellman-Floyed ;
- SPFA 算法 Shortest Path Faster Algorithm ;
本篇博客介绍 弗洛伊德 算法 ;
一、最短路径
在 图 中 , 结点 之间的 边 带有权值 , 则该图就是 带权图 ;
边的 权值 可以理解为 两个结点 之间的 距离 或者 消耗时间 ,
从 结点 A 到 结点 B 有不同的路径 ,
将这些路径的 边 的 权值 相加 , 权值总和最小的路径 , 就是 最短路径 ;
举例说明 : 下图 中 , 求 C4 结点 到 C6 结点 的最短路径 ;
C4 结点 到 C6 结点的路径 :
- C4 -> C6 : 权值累加总和为 9 ;
- C4 -> C5 -> C6 : 权值累加总和为 8 ;
- C4 -> C3 -> C5 -> C6 : 权值累加总和为 8 ;
其它的路径更远 , 可以看到其最短路径是 后两种 , 最短路径为 8 ;
二、图最短路径算法使用场景
图最短路径算法使用场景 :
- 管道铺设
- 线路安装
- 地图规划
三、求解图中任意两个点之间的最短路径
假设图中有任意两个点 , A 点 和 B 点 ,
要令 A 到 B 之间的 距离 变短 , 只能 引入 第三个点 K , A 先到 K , 然后从 K 到 B ,
此时 A -> B 的路径 可能 小于 A -> K -> B 的路程 ;
中转点 的 个数 可能需要多个 , A 到 B 可能中间途径多个 中转点 , 使得 两个结点 之间的距离更短 ;
以上图为例 , 从 结点 4 到 结点 3 的直接距离为 12 ,
如果 找一个途经点 , 从 结点 4 先到 结点 1 , 然后从 结点 1 到 结点 3 , 最终的距离为 11 ;
如果 找 2 个途径点 , 节点 4 -> 结点 1 -> 结点 2 -> 结点 3 , 距离为 10 ;
每个顶点 都有可能 缩短 另外两个 顶点 之间的距离 ;
四、邻接矩阵存储图数据
使用 邻接矩阵 存储 下图信息 ;
下图中 使用 二维数组 int[][] edge 存储邻接矩阵 , 二维数组 元素的值为 两个点 之间的 边 的 权重 ;
如 : edge[1][2] 是 从 结点 1 到 结点 2 之间的 边 的权重 ;
邻接矩阵 取值 :
- 两个结点之间存在边 : 邻接矩阵 取值 就是这个 边 的权重 ;
- 两个结点之间不存在边 : 如果 没有可达 的边 , 如 结点 2 -> 结点 1 没有直达的边 , 则距离设置为 无穷大 ;
- 结点到其本身的距离 : 约定为 0 ;
五、只允许经过 1 号点中转得到任意两点之间的最短路径
在上述 邻接矩阵 int[][] edge 中 , 求 结点 i 到 结点 j 之间的 最短路径 , 并且只允许从 结点 1 进行中转 ;
结点 i 到 结点 j 的距离为 edge[i][j] ,
结点 i 到 结点 1 的距离为 edge[i][1] , 结点 1 到 结点 j 的距离为 edge[1][j] , 其 总的距离为 edge[i][1] + edge[1][j] ,
如果 edge[i][1] + edge[1][j] < edge[i][j] , 则 结点 i 到 结点 j 之间的距离缩短了 , edge[i][1] + edge[1][j] 就是其当前的 最短路径 ;
// 只允许经过 1 号点中转得到任意两点之间的最短路径
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
if(edge[i][j] > edge[i][1] + edge[1][j])
edge[i][j] = edge[i][1] + edge[1][j];
更新后的 邻接矩阵 变为下图所示 :
原来 结点 3 -> 结点 2 的 之间没有边 , 距离为 无穷大 , 现在通过 1 中转 , 3 -> 1 -> 2 的距离为 9 , 距离缩短了 ;
原来 结点 4 -> 结点 2 的 之间没有边 , 距离为 无穷大 , 现在通过 1 中转 , 4 -> 1 -> 2 的距离为 7 , 距离缩短了 ;
原来 结点 4 -> 结点 3 的 之间没有边 , 距离为 12 , 现在通过 1 中转 , 4 -> 1 -> 3 的距离为 11 , 距离缩短了 ;
六、在之前的基础上-只允许经过 1、2 号点中转得到任意两点之间的最短路径
上一个章节中 , 已经求出 只允许经过 1 号顶点时 , 任意两点的 最短路径 ;
本章节中 , 在上一章节的基础上 , 再求 经过 2 号顶点 , 是否能 得到 任意两个 结点 , 结点 i 到 结点 j 之间的 最短路径 ;
算法代码如下 :
// 只允许经过 1 号点中转得到任意两点之间的最短路径
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
if(edge[i][j] > edge[i][1] + edge[1][j])
edge[i][j] = edge[i][1] + edge[1][j];
// 只允许经过 1、2 号点中转得到任意两点之间的最短路径
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
if(edge[i][j] > edge[i][1] + edge[1][j])
edge[i][j] = edge[i][1] + edge[1][j];
原来 结点 1 -> 结点 3 的 距离为 6 , 现在通过 2 中转 , 1 -> 2 -> 3 的距离为 5 , 距离缩短了 ;
原来 结点 4 -> 结点 3 的 距离为 11 , 路径为 4 -> 1 -> 3 , 现在再通过 2 中转 , 4 -> 1 -> 2 -> 3 , 新的距离为 10 , 距离缩短了 ;
七、在之前的基础上-只允许经过 1、2 、…、n 号点中转得到任意两点之间的最短路径
经过所有点的遍历 , 也就是经过 1、2 、3、4 号点之后 , 得到的 邻接矩阵 中 , 所有的 任意 两个点之间的距离都是最小距离 ;
代码参考 :
// k 代表结点个数 , 经过 1 ~ n 结点中转 , 每次增加一个点
// 就将 邻接矩阵 中的 最短路径 重新计算一遍
for(int k = 1; k < n; k++)
for(int i = 1; i < n; i++)
for(int j = 1; j < n; j++)
if(edge[i][j] > edge[i][k] + edge[k][j])
edge[i][j] = edge[i][k] + edge[k][j];
执行上述算法后 , 邻接矩阵 中的元素值 , 就是对应的 任意两个点 之间的最小距离 ;
八、弗洛伊德算法总结
弗洛伊德算法 可以 计算出 图中 任意两个点 的最短路径 ;
弗洛伊德算法的 时间复杂度是 O ( n 3 ) \\rm O(n^3) O(n3) , 因为其嵌套了 3 层 for 循环 ; 结点数量小于 200 , 都可以使用该算法 ;
如果 图 中 , 边的权重 有 负数 , 并且 负数 所在边 与其它的边 组成了一个环 , 则不能使用 弗洛伊德算法 处理 ;
负环示例 :
以上是关于求助:求任意两点之间的最短路问题用啥算法比较好?的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章