如何 求多元一次函数的最大值

Posted 2023-04-20

有10个变量X1、X2、X3、、、X10
目标函数 f(x)=a*x1+b*x2+c*x3+………+j*x （a、b、c…..这些都是数）
约束条件： x1+x2+x3+……..+x10=5000
还有些其他的约束，如：
x1+x2+x3>1000,
X3+x5>200
……….
我现在要求f(x)的最大值，编程实现的话，代码里怎么写？

用MATLAB。

例：目标函数35a+88b+43c+18d ，求最大值

约束条件:

45a+86b+25c+12d≤750

26a+45b+16c+10d>200

45a+86b≤450

a≥4

b≥2

5≤c，d≤8

多元函数求最值：

与一元函数相类似，对于有界闭区域上连续的二元函数，一定能在该区域上取得最大值和最小值．使函数取得最值的点既可能在的内部，也可能在的边界上。

若函数的最值在区域的内部取得，这个最值也是函数的极值，它必在函数的驻点或偏导数不存在的点处取得。

若函数的最值在区域的边界上取得，往往比较复杂，在实际应用中可根据问题的具体性质来判断。

在解决实际问题时，如果只有唯一一个最值点的可疑点，无需判别，这个唯一点即为要求的最值点。

参考技术A 我是用MATLAB，
例：
目标函数35a+88b+43c+18d ，求最大值
约束条件:
45a+86b+25c+12d≤750
26a+45b+16c+10d>200
45a+86b≤450
a≥4
b≥2
5≤c,d≤8

MATLAB代码如下： 百分号后面是注释
f=[-35;-88;-43;-18]; %由于linprog是求最小值的，题意为最大值，取负数就变成最大值了。
A=[45,86,25,12;-26,-45,-16,-10;15,86,0,0]; %不等式约束条件的左边，写成矩阵的形式,注意这里是小于号，如果题目为大于号，两边加负号
b=[750;-200;450]; %不等式约束条件的右边
Aeq=[]; %等式约束的左边
beq=[]; %等式约束的右边
xmin=[4,2,5,-inf]; %各个变量的最小值，如果没有最小值，也就是最小值为负无穷，用-inf表示
xmax=[inf,inf,inf,8]; %名个变量的最大值，如果没有最大值，用inf(正无穷)表示
x0=xmin; %迭代的初值
[x,fmin]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,xmin,xmax,x0);
x,-fmin 参考技术B simplex方法。
去找线性规划程序包，别自己写。
也可以用lingo或者mathematica来做。

对求多元函数微分的理解

例如：求e^(x+2y+3z)+xyz=1 求dz 　　　　　　　　　　　　(可确定z=z(x,y)函数)

方法1：对两边求微分得 e^(x+2y+3z)d(x+2y+3z)+d(xyz)=0

该方法使用了微分形式得不变性,也就是说此时这个式子在求微分的时候不用管谁是谁得函数，将自变量和应变量一视同仁，看作是平等的量

为了好理解可以令u=x+2y+3z 原式=d(e^u)+d(xyz)=0

　　　　　　　　　　　　　　　e^ud(u)+d(xyz)=0

　　　　　　　　　　　　　　　　e^(x+2y+3z)d(x+2y+3z)+d(xyz)=0

此时利用微分的四则运算可得e^(x+2y+3z)(dx+2dy+3dz)+xydz+yzdx+xzdy=0（原题目求具体每一点的值，可以带入求得）

 

或者此时可用全微分公式进行求解d(xyz)=dx*偏导x+dy*偏导y(把z看作xy的函数，不能简单的求x偏导把yz看作常数，此时计算复杂)

 

d(xyz)=dx*偏导x+dy*偏导y+dz*偏导z(此时不把z看作xy的函数)

 

方法2：利用全微分公式求得z对x，y的偏导，代入求解（为隐函数求导）

可以直接套用公式-Fx/Fz，但是本身此公式就是通过对方程F求x偏导反解得到的，因此可以直接对F求偏导（此时需要把z看作xy的函数（因为想得到z对x的偏导，所以此时必须把z看作xy的函数））

 

总结：方法1一般不把z看作xy函数

方法2求偏导是把z看作xy函数