C语言的Cantor的数列，这个公式是怎么来的？

Posted 2023-04-11

if(k%2==0) printf("%d/%d ",k-s+n,s-n+1); break;
if(k%2==1) printf("%d/%d ",s-n+1,k-s+n); break;

这里的“k-s+n”和"s-n+1"是怎么得到的？

参考技术A 现代数学的著名证明之一是Georg Cantor证明了有理数是可枚举的。他是用下面这一张表来证明这一命题的：
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 …
2/1 2/2 2/3 2/4 …
3/1 3/2 3/3 …
4/1 4/2 …
5/1 …
…
我们以Z字形给上表的每一项编号。
第一项是1/1，然后是1/2，2/1，3/1，2/2，…
输入格式 Input Format
输入：整数N（1≤N≤10000000）
输出格式 Output Format
输出：表中的第N项
Tip:纯粹的数学问题，第K个斜行（"/"方向）上每个分数的分子分母之和为K+1，因此先算出第N项所在的斜行K，然后看斜行是奇数项还是偶数项，进而算出具体分数值。

#include <stdio.h>
int main()
long i=0,n;
scanf("%ld",&n);
while (i<n)
n-=i;
i++;

if (i%2==0) printf("%d/%d",n,i+1-n);
else printf("%d/%d",i+1-n,n);
system("pause");
return 0;
追问

我是想问那两个算式是怎么推理出来的，而不是程序！

追答

第K个斜行（"/"方向）上每个分数的分子分母之和为K+1，因此先算出第N项所在的斜行K，然后看斜行是奇数项还是偶数项，进而算出具体分数值。

while (i<n)

n-=i;
i++;

这个循环可以算出第N个数应该是在第i个斜行。通过几次循环n-=i，最终n可能还有剩余，我们所要求的第N个数，就是第i个斜行的第n个数。

之后只要判断i是偶数行还是奇数行。
如果是偶数行，n正好等于分子；如果是奇数行，n正好等于分母。
根据分子分母之和为i+1，分数值就出来了。

这是我发的程序的思路。但是每个人有每个人的想法。可能你的程序思路不同，所以写出来有点不一样。

最好可以把这个程序发出来，才能很清楚的知道完整流程。你的k，s，n分别代表什么其实只看你这两个语句，我猜不出来。不好意思。

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斐波那契数列的公式是啥？

简单一点，小学生看得懂的。

这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列。该数列由下面的递推关系决定：
F0=0,F1=1
Fn+2=Fn + Fn+1(n>=0)
它的通项公式是 Fn=1/根号5[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方(n属于正整数)

补充问题：
菲波那契数列指的是这样一个数列：
1，1，2，3，5，8，13，21……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和
它的通项公式为：[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根号5】
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

该数列有很多奇妙的属性
比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……

还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了菲波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到

如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值

仅供参考。 参考技术A 1,2,5,8
就是第一个数+第二个数=第三个数，第二个数+第三个数=第四个数……以此类推追问

那要你算到第2013个数呢？

参考技术B 回答

这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列。该数列由下面的递推关系决定：F0=0,F1=1Fn+2=Fn + Fn+1(n>=0)它的通项公式是 Fn=1/根号5[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方(n属于正整数)

参考技术C 1+2+3+5+8+13追问

看不懂

追答

1+1+2+3+5+8+13 每一项都等于前两项之和

参考技术D 斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...特别指出：0是第0项，不是第1项。这个数列从第二项开始，每一项都等于前两项之和。追问

那要你算到第2013个数呢？