Chapter10.2：相平面法

Posted 2023-04-08 FUXI_Willard

该系列博客主要讲述Matlab软件在自动控制方面的应用，如无自动控制理论基础，请先学习自动控制系列博文，该系列博客不再详细讲解自动控制理论知识。
自动控制理论基础相关链接：https://blog.csdn.net/qq_39032096/category_10287468.html?spm=1001.2014.3001.5482
博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

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2.相平面法

2.1 相平面的概念

考虑如下的二阶时不变系统：
$$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$$
其中：$f(x,\dot{x})$是$x(t)$和$\dot{x}(t)$的线性或非线性函数；

$x(t)$和$\dot{x}(t)$称为系统运动的相变量(状态变量)，以$x(t)$为横坐标，$\dot{x}(t)$为纵坐标构成的直角坐标平面称为相平面；

相变量从初始时刻$t_0$对应的状态点$(x_0,{\dot{x}}_0)$起，随着时间$t$的推移，在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹；

根据微分方程解的存在与唯一性定理，对于任一给定的初始条件，相平面上有一条相轨迹与之对应；多个初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，由一簇相轨迹组成的图形称为相平面图；

相轨迹在某些特定情况下，可以通过积分法，直接由微分方程获得$\dot{x}(t)$和$x(t)$的解析关系式；
$$\ddot{x}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\dot{x}\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}$$
可得：
$$\dot{x}\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=f(x,\dot{x})$$

$$g(\dot{x})\mathrm{d}\dot{x}=h(x)\mathrm{d}x$$

两端积分可得：
$${\int }_{{\dot{x}}_0}^{\dot{x}}g(\dot{x})\mathrm{d}\dot{x}={\int }_{x_0}^{x}h(x)\mathrm{d}x$$
其中：$x_0、{\dot{x}}_0$为初始条件；

2.2 相轨迹绘制的等倾线法

等倾线的基本思想：先确定相轨迹的等倾线，进而绘制相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹；

相轨迹微分方程：
$$\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}$$
上式给出了相轨迹在相平面上任一点$(x,\dot{x})$处切线的斜率，取相轨迹切线的斜率为某一常数$\alpha$，得等倾线方程：
$$\dot{x}=\frac{f(x,\dot{x})}{\alpha }$$
使用等倾线法绘制相轨迹应注意的几点：

• 坐标轴$x$和$\dot{x}$应选用相同的比例尺，以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线；
• 在相平面的上半平面，由于$\dot{x}>0$，则$x$随$t$增大而增加，相轨迹的走向是由左向右；在相平面的下半平面，由于$\dot{x}<0$，则$x$随$t$增大而减小，相轨迹的走向应由右向左；
• 除系统的平衡点外，相轨迹与$x$轴的相交点处切线斜率$\alpha =\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}$应为$+\infty$或$-\infty$，即相轨迹与$x$轴垂直相交；
• 一般地，等倾线分布越密，所作的相轨迹越准确，等倾线法主要用来分析相轨迹的形状和走向；

2.3 线性系统的相轨迹

1. 线性一阶系统的相轨迹

   描述线性一阶系统自由运动的微分方程为：
   $$T\dot{c}+c=0$$
   相轨迹方程为：
   $$\dot{c}=-\frac{1}{T}c$$
   设系统初始条件为：$c(0)=c_0$，则

   4. 整数规划：割平面法python代码

   参考技术A

   割平面简单来说，就是添加约束条件 。比如在分支定界算法中，添加的x≤floor[x _s ]和x≥ceil[x _s ]便是两个用来割平面的约束条件。
   分支定界法最终生成一颗树，当整数变量非常多时，求解节点会指数速度增加，因此需要使用一些方法提高求解速度，割平面法便是重要方法之一。分支的过程其实本身就是割平面的过程，floor[x]和ceil[x]之间的整个可行域在对x进行分支的过程中被切割掉了。

   核心思想是： 将约束条件中的小数部分分离出来形成新的约束 。
   假设整数规划的线性松弛问题求解结果中有一个基变量x _i =b _i0 不是整数，对应的约束条件为：
   x _i +Σ _j∈J x _j b _ij = b _i0
   其中J是非基变量下标集合。
   令Z(b) = floor(b)，也就是b的整数部分；S(b) = b-floor(b)，也就是b的小数部分。则有：
   S(b _i ) - Σ _j∈J x _j S(A _ij ) = Z(b _i ) + Σ _j∈J x _j Z(A _ij ) - Z(b _i )
   因此S(b _i ) - Σ _j∈J x _j A(b _ij ) 是一个整数。
   再结合S(b _i ) - Σ _j∈J x _j S(A _ij ) ≤ S(b _i ) ＜1
   得到：
   S(b _i ) - Σ _j∈J x _j S(b _ij ) ≤ 0
   好了，这就是松弛问题每个非整数基变量带来的新的约束条件。为了转为标准型，还需要给这个约束条件添加一个剩余变量x\'：
   Σj∈ _j∈J x _j S(A _ij ) - x\' = S(b _i )

   基本框架还是用分支定界法，每次求解完之后添加割平面的约束条件：

   以上是关于Chapter10.2：相平面法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

   Chapter10.3：描述函数法

   平面波法用于一维光子晶体

   如何用MATLAB求解0-1整数规划?

   整数规划该如何用MATLAB求解？

   MATLAB学习——三维曲面图像绘制

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